Aloha :)
$$S=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+1)\log(n+1)}=\sum\limits_{n=1\pink{+1}}^\infty\frac{1}{((n\pink{-1})+1)\log((n\pink{-1})+1)}=\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{n\log(n)}$$
Die Folge \(a_n\coloneqq\frac{1}{n\log(n)}\) ist streng monoton fallend.
~plot~ 1/(x*log(x)) ; 1/(2*log(2))*(x>=2)*(x<=3)+1/(3*log(3))*(x>=3)*(x<=4)+1/(4*log(4))*(x>=4)*(x<=5)+1/(5*log(5))*(x>=5)*(x<=6) ; [[1|7|0|2]] ~plot~
Daher kannst du die Summe nach unten durch ein Integral abschätzen:$$S>\int\limits_{2}^\infty\frac{1}{x\ln(x)}\,dx$$
Das Integral ist von der Form$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C\quad\bigg|\quad\int\frac{\frac1x}{\ln(x)}\,dx=\ln|\ln(x)|+C$$Daher gilt die Abschätzung:$$S>\left(\lim\limits_{x\to\infty}\ln|\ln(x)|\right)-\ln(\ln(2))=\infty$$
Die Reihe ist also divergent.
