Vektorrechnung: Dreiseitige Pyramide

Question

Bei folgender Aufgabe brauche ich mal einen kleinen Denkanstoß:

Bei einer dreiseitigen Pyramide ABCD liegen die Punkte A (1|Ya|1), B (Xb|10|1) und C in der Ebene E. Die Spitze D ist durch die Koordinaten D (2|3|9) gegeben. Die Geraden a, b, c sind Trägergeraden der Seitenkanten AD, BD und CD.

E: X = (1|2|1) + r (3|4|0) + s (2|-2|-1)
a: X = (3|4|17) + r (1|1|8)
b: X = (12|17|-7) + u (-5|-7|8)
c: X= (17|-6|27) + v (5|-3|6)

a) Schreiben Sie die Ebenengleichung E in Normalvektorform an.
Das habe ich gelöst, ich habe den Normalvektor aus den beiden Richtungsvektoren der Parameterform gebildet und die Gleichung aufgestellt. Das kam raus:
4x - 3y + 14z = 12

b) Bestimmen Sie die Koordinaten der Eckpunkte A, B, C.
Hier fängt es an zu haken. Bei A und B war es noch leicht, ich habe die bereits gegebenen Koordinaten in die Gleichung der Ebene eingesetzt und nach der gesuchten Variable umgestellt. Heraus kam:
A = (1|2|1)
B = (7|10|1)

Wie komme ich aber auf C?

c) Berechnen Sie die Körperhöhe h des Tetraeders.
d) Wie groß ist das Volumen des Tetreaders?

Bei c) stehe ich an und bei d) würde ich erst die Vektoren aus den Punkten ermitteln und dann die Volumensformel anwenden.

Wie komme ich aber auf meine Koordinaten von C und was mache ich bei c)?

Answer 1

a) Du hast die Koordinatenform notiert.

E = (X - [1, 2, 1]) * [4, -3, 14] = 0

b)

Schnittpunkt der Gerade c mit der Ebene E

4·(17 + 5·v) - 3·(-6 - 3·v) + 14·(27 + 6·v) = 12 --> v = -4

c)

Abstand von D zur Ebene E.

d)

V = 1/3 * G * h

Grundfläche lässt sich mit dem Betrag des Kreuzproduktes berechnen.

Comments

Danke für die schnelle Antwort!
Ich berechne das mal mit den Denkanstößen und schreibe dann was ich rausbekommen habe.

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So:

Für die Koordinaten von C habe ich jetzt:
C = (-3|6|3)

Für c), Abstand D zur Ebene E und damit Höhe h:
h = 7,6

Für d)

V = 1/3 * G * h = 37,7 VE


Ich habe C mit der Hesse'schen Abstandsformel berechnet und dazu erst den Betrag des Normalvektors der Ebene ausgerechnet. Diesen Betrag habe ich dann für d) gleich für die Volumensberechnung verwendet.

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Beim Volumen habe ich mit 75.33 VE etwas anderes heraus.

Dein Ergebnis unterscheidet sich von meinem um den Faktor 1/2. Wie hast du gerechnet ?

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Ich habe gerechnet:

V = 1/3 * √221 * 7,6 = 37,7 VE

Die √221 habe ich für den Betrag des Normalvektors herausbekommen ( √4²+3²+14²) und die 7,6 kommen von Aufgabe c).

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Du darfst nicht einfach den Normelenvektor der Ebene nehmen. Das ist doch im Zweifel ein gekürzter Vektor.

Hier meine Rechnung mit dem Spat-Produkt.

AB = [7, 10, 1] - [1, 2, 1] = [6, 8, 0]

AC = [-3, 6, 3] - [1, 2, 1] = [-4, 4, 2]

AD = [2, 3, 9] - [1, 2, 1] = [1, 1, 8]

V = 1/6·([6, 8, 0] ⨯ [-4, 4, 2]·[1, 1, 8]) = 226/3 = 75.33

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Ups, okay. Das war mir nicht ganz klar. Ich hole gerade mein Abitur nach und bringe mir das Ganze komplett selbst bei. Manchmal hängt da echt die ein oder andere Information, die man aus den Lehrbüchern nicht recht rausgefiltert bekommt. Herzlichen Dank, wird im Kopf abgespeichert!

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Dann wünsche ich viel Erfolg und drück die Daumen.