Langrange Verfahren Extremwerte bestimmen / richtig?

Question

Hi Ihr,
ich habe schonmal gerechnet, stecke aber fest...:(, besonders bei a) und c)


f(x,y)=4x−3y+15

NB: O=x2+y2−25

a)? x,y≥0

b)

L=4x−3y+15−λ⋅(x²+y²−25)=0
L′x=4−2⋅λ⋅x=0
L′y=−3−2⋅λ⋅y=0
L′λ=−x²−y²+25=0

nach λ auflösen:

λ=2/x=−3/2y

y=(−3x)/4

y in die NB-Gleichung setzen:

x=4
y=−3
λ=1/2
Sind dies meine stationären Punkten?

c)

Hesse Matrix

               f''_{xx (x, y)} f''_{xy (x, y)}

H_f (x, y)=   -2λ      0

                  0         -2λ 

             f''_{yx (x, y)} f''_{yy (x, y)}

Hessedeterminante:

D_{f (x, y)} = -2λ * (-2λ) - 0²

            = 4*λ

            = 4*1/2 = 2  > 0

            f''_xx  = -1 < 0   ⇒      Minimum?   

Fragen:

- ich habe es glaube ich falsch gelöst...

reicht es, wenn ich nur die Variablen x, y in die Hesse Matrix einbaue, oder sollte es auch
λ sein?

Answer 1

Siehe hier

https://www.mathelounge.de/429590/bestimme-globale-maxima-minima-bei-f-x-y-mit-nebenbedingung#c429661

Außerdem liegt ein Minimum vor, wenn die Hesse Matrix positiv definit ist.

Comments

Danke Ullim,

sorry, das habe ich bei meinen ganzen Aufgaben hier vercheckt,sorry, danke!!