Beweis Abelsche Gruppe: (Q \ {0}, ·), wobei x : Q \ {0} x Q \ {0} → Q \ {0} durch (x, y) → xy definiert ist

Question

also mir macht gerade folgende Aufgabe das Leben schwer :

Zeigen Sie, dass (Q \ {0}, ·), wobei x : Q \ {0} x Q \ {0} → Q \ {0} durch (x, y) → xy definiert ist, eine abelsche Gruppe ist.

Für die Antworten bedanke ich mich im Voraus!

Answer 1

Zu zeigen sind die gewöhnlichen Gruppeneigenschaften und zusätzlich die Kommutivität, die die Gruppe abelsch macht.


I) Assoziativität: Die Multiplikation von rationalen ist assoziativ: (xy)z = x(yz)

II) Das neutrale Element ist die 1, denn x*1= x = 1*x

III) Das inverse Element zu x ist 1/x, denn x*1/x = x/x = 1.
Insbesondere existiert dieses inverse Element für alle x∈ℚ\{0}, es ist einfach der Kehrwert von x.

IV) Die Operation ist kommutativ, denn xy = yx.