Halber Hyperboloid und Parabel - Verzweifelte Antwortensuche

Question

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Ich habe hier eine Aufgabe, die mich wirklich etwas verzweifeln lässt, da ich gar keine Ahnung habe, wie ich da rangehen soll. Information vorweg: Eigentlich sollte alles, was unter Kegelschnitte fällt, kein Prüfungsstoff sein. Eigentlich. Ich weiß jedoch nicht, ob diese Aufgabe ohne geht.


Ein 9cm hoher Kelch hat außen die Gestalt eines halben Hyperboloids mit der Gleichung 49x² - 16y² = 144
Der innere Teil entsteht durch Rotation einer Parabel, die durch A(0 | 1) verläuft und in 4cm Höhe einen Durchmesser von 6cm hat.

a) Zeige, dass die Parabelgleichung y = 1/3 x² + 1 lautet!

b) Berechne die Masse des leeren Kelches, der aus einer Glassorte mit der Dichte p = 2,5 g/cm³ hergestellt wurde!

c) In welcher Höhe muss die 1/8-Liter-Markierung angebracht werden?

d) Welche Masse weist ein bis zur 1/8-Liter-Markierung gefüllter Kelch auf, wenn die Dichte der darin enthaltenen Flüssigkeit p = 0,91 g/cm³ beträgt?

e) Ist es richtig, dass wenn man 100 solcher Kelche jeweils nur bis 3mm unter die 1/8-Liter-Markierung füllt, man sich insgesamt mehr als einen ganzen Liter spart? (Rechenweg muss ersichtlich sein!)

Ich würde jetzt gern meine Ansätze niederschreiben, aber ich habe keine. Bestimmt ist es ganz simpel, und ich sehe es nur nicht.

Answer 1

Hier zunächst nur eine Skizze.

~plot~ 7*sqrt(x^2 - 9)/4;1/3*x^2+1;[[-6|6|0|9]] ~plot~

Comments

Oh!!
Ich hab nochmal geschaut, die Gleichung des Hyperboloids sieht so aus:

49x² - 16y² = 441

Letzte Zahl war falsch übertragen, sorry sorry!

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Ok. Das sieht dann schon besser aus. Das sind dinge mit denen ich arbeiten kann.

a) Zeige, dass die Parabelgleichung y = 1/3·x^2 + 1 lautet!

f(x) = 1/3·x^2 + 1

f(0) = 1

f(6/2) = f(3) = 4

Beide Bedingungen werden erfüllt und damit ist f(x) die Parabelgleichung.

Fortsetzung folgt ...

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b) Berechne die Masse des leeren Kelches, der aus einer Glassorte mit der Dichte p = 2.5 g/cm³ hergestellt wurde.

49·x^2 - 16·y^2 = 441 --> x =1/7·√(16·y^2 + 441)

Umkehrfunktion: y = 1/7·√(16·x^2 + 441)

y = 1/3·x^2 + 1 --> x = √(3·y - 3)

Umkehrfunktion: y = √(3·x - 3)

∫(pi·(1/7·√(16·x^2 + 441))^2, x, 0, 9) = 7857/49·pi = 503.7 cm³

∫(pi·√(3·x - 3)^2, x, 1, 9) = 96·pi = 301.6 cm³

m = (503.7 - 301.6)·2.5 = 505.3 g

c) In welcher Höhe muss die 1/8-Liter-Markierung angebracht werden?

V = ∫(pi·√(3·x - 3)^2, x, 1, a) = 1.5·pi·a^2 - 3·pi·a + 1.5·pi = 125 --> 6.150 cm

d) Welche Masse weist ein bis zur 1/8-Liter-Markierung gefüllter Kelch auf, wenn die Dichte der darin enthaltenen Flüssigkeit p = 0,91 g/cm³ beträgt?

m = 505.3 + 125·0.91 = 619.1 g

e) Ist es richtig, dass wenn man 100 solcher Kelche jeweils nur bis 3 mm unter die 1/8-Liter-Markierung füllt, man sich insgesamt mehr als einen ganzen Liter spart?

6.15 - 0.3 = 5.85

V = ∫(pi·√(3·x - 3)^2, x, 5.85, 6.15) = 14.14

100·14.14 = 1414 cm³ = 1.414 l