Betragsungleichungen lösen / 3-x / <= x-1

Question

/ 3-x / <= x-1 

Answer 1

Wir haben folgendes:  $$|3-x|\leq x-1 \\ \Rightarrow -(x-1)\leq 3-x\leq x-1 \\ \Rightarrow -x+1\leq 3-x\leq x-1 \\ \Rightarrow -x+1-3\leq 3-x-3\leq x-1-3 \\ \Rightarrow -x-2\leq -x\leq x-4 \\ \Rightarrow (-1)\cdot (-x-2)\geq (-1)\cdot (-x)\geq (-1)\cdot (x-4) \\ \Rightarrow  x+2\geq x\geq -x+4$$ 
Wir müssen aufpassen, dass wenn wir eine Ungleichung eine negative Zahl multiplizieren, ändert sich das Ungleichungssymbol. 

Wir bekommen dann folgendes $$x+2\geq x$$ Das gilt für jedes x. 
Wir bekommen auch dass $$x\geq -x+4\Rightarrow 2x\geq 4 \Rightarrow x\geq 2$$ 

Answer 2

| 3-x | ≤ x - 1

Damit die (Un-) gleichung wahr wird muß
die rechte Seite positiv oder null sein.

x -1 ≥ 0
x ≥ 1

Sind beide Seiten positiv oder null kann
quadriert werden ohne das sich das Relations-
zeichen umdreht.
Beispiel
| a | ≤ | b |
a^2 ≤ b^2

| 3-x | ≤ x - 1
( 3-x )^2 ≤ ( x - 1 )^2
9 - 6x + x^2  ≤ x^2 - 2x + 1
8 ≤ 4x
x ≥ 2

Zusammen mit der Eingangsvoraussetzung
x ≥ 1  und  x ≥ 2 ergibt sich
x ≥ 2

Hier noch die übliche Berechnung mit
Fallunterscheidung

Comments

Das  1 + 2  in der vorletzten Zeile  könnte man fälschlich als  1 und 2 deuten.

Besser ist wohl   1 oder 2 

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Hallo Wolfgang,

die Diskussion hatte ich früher schon ein paar
mal bei anderen meiner Lösungen

Sprachlich zumindest ist
Lösungsmenge 1 : a,b,c
Lösungsmenge 2 : e,f

Gesamtlösungsmenge L1 und L2 nämlich
a,b,c,e,f

Bei meiner 1.Lösung schrieb ich

Zusammen mit der Eingangsvoraussetzung
x ≥ 1  und  x ≥ 2 ergibt sich
x ≥ 2

Korrekter
Zusammen mit der Eingangsvoraussetzung
Schnittmenge von
x ≥ 1  und  x ≥ 2 ergibt sich
x ≥ 2

Answer 3

wenn p ≥0 ist, gilt   |A| ≤ p  ⇔  -p ≤ A ≤ p

Wenn x eine Lösung ist, muss die rechte Seite der Ungleichung ≥ 0 sein:

| 3-x| ≤ x-1  

⇔   x-1 ≥ 0  und     - (x-1)  ≤ 3-x ≤ x-1   

⇔   x ≥ 1     und        -x+1 ≤ 3-x ≤ x-1   

          rechte Ungleichungen beide +x

⇔   x ≥1      und    1 ≤ 3 ≤ 2x - 1

⇔   x ≥ 1     und    3 ≤ 2x-1

⇔   x ≥ 1     und    4 ≤ 2x

⇔   x ≥ 1     und     2 ≤ x

⇔   x ≥ 2  

Gruß Wolfgang