Parallelogramme - Punkte rechnerisch bestimmen

Question

Ich komm bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter. Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.

Parallelogramme

a) Zeichnen Sie die Punkte A(-2 2), B(2|3) und C(3|-1) in ein Koordinatensystem. Ergänzen Sie einen vierten Punkt so, dass sich ein Parallelogramm ergibt. Wie viele solcher Punkte finden Sie?

b) Können Sie die Punkte aus a) auch rechnerisch bestimmen? Beschreiben Sie Ihr Vorgehen.

c) Gegeben sind die Punkte A(4|2|-1), B(1|2|3) und C(-2|0|4). Bestimmen Sie rechnerisch alle Punkte, die mit A, B und C ein Parallelogramm bilden.

Answer 1

Hallo Sonnenschein,

Im Allgemeinen geht man davon aus, dass die Ecken so eines Parallelogramm in der Reihenfolge ABCD benannt werden. Dann ist $CD=BA=A-B$ und $D=C+CD=C+A-B$ also

$$D=\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \end{pmatrix}$$

ein Bild sagt mehr als 1000 Worte:

 

Diese Reihenfolge der Bezeichnung der Punkte ist aber nicht in Stein gemeißelt, also könnte man auch eine andere Reihenfolge wählen. Letztlich kommt es darauf an, welche von den drei Strecke $AB$, $BC$ und $CA$ die Diagonale des Parallelogramms bildet. Eben hatten wir $AC$ als Diagonale, daher verbleiben noch zwei andere Möglichkeiten:

 

Beim Parallelogramm ACD'B ist $BC$ die Diagonale und bei ACBD'' ist es $AB$. Es gibt also in Summe drei Möglichkeiten.

zu c) Die allgemeine Regel ist: addiere die beiden Punkten, die sich gegenüberliegen sollen (die Diagonale) und ziehe den dritten Punkt davon ab. Warum ist das so?

Damit kann man die drei Punkte berechnen:

$$D= \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

$$D\prime= -\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}$$

$$D\prime\prime = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$$

klicke hier, dann siehst Du es in 3D.

Gruß Werner

Comments

Vielen Dank für die Mühe - das ist großartig!!! :)