Stochastik, Produktionsprozess, Zufallsexperiment

Question

Bei einem Produktionsprozess sind 15% der hergestellten Produkte unbrauchbar. Bei einem Zufallsexperiment werden mehrere Produkte entnommen. Die Zufallsgröße X ist die Anzahl der defekten Stücke bei der Stichprobe.

a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung und die kumulative Verteilungsfunktion von X bei einer Stichprobe aus 4 Stücken an.

b) Mit welcher WS sind in einer Stichprobe aus 10 Stücken genau 2 davon defek?

c) Wie groß ist die WS, dass aus 8 entnommenen Stücken höchstens 1 Stück defekt ist.

d) Berechnen sie die WS, dass von 6 entnommen Stücken mindestens eines defekt war.

e) Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung bei einer Stichprobe von 12 Stück. Mit welcher WS ist die Anzahl der defekten Stücke kleiner als erwartet?

f) Berechnen Sie die WS dafür, dass bei 12 Stücken die Anzahl der defekten Stücke innerhalb der Standardabweichung um den Erwartungswert liegt.

g) Aus wie vielen Stücken muss die Stichprobe bestehen, damit die Wahrscheinlichkeit für 2 defekte Stücke 0,138 beträgt?

Das ist die Aufgabe, leider hab ich keine Lösung dafür. Unglücklicherweise weiß ich nicht wie ich vorgehen soll.

Wenn jemand das Schritt für Schritt lösen könnte wäre das Top!

Für Empfehlungen bezüglich diesen Themas auf YouTube oder anderen Internetseiten wäre ich dankbar!

Comments

Also Stichwort für den Aufgabentyp lautet: Ansatz über Hypergeometrische Verteilung. Ich galube Youtube wird dir da nicht so viel helfen. Kann dir das Lehrbuch Bamberger empfehlen sind sehr viel Beispielaufgaben drin.

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Warum meinst du es handle sich hier um die hypergeometrische Verteilung?

Wenn wir eine Produktion von 100 Stück hätten und dort wären exakt 15%  fehlerhaft und wir nehmen daraus eine Stichprobe, dann müssten wir die hypergeometrische Verteilung nehmen.

Wenn aber die Produktion sehr sehr groß ist und jedes Teil mit einer Wahrscheinlichkeit von 15% defekt ist. Wie aber weder Umfang der Produktion noch die tatsächliche Anzahl der defekten Produkte kennen, dann würde man die Binomialverteilung nehmen.

Answer 1

Ansatz ist die Binomialverteilung.

Hier ein Beispiel was bei a) b) und c) zu rechnen ist.

a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung und die kumulative Verteilungsfunktion von X bei einer Stichprobe aus 4 Stücken an.

Wahrscheinlichkeitsverteilung

P(X = k) = COMB(4, k)·0.15^k·0.85^{4 - k}

[0, 0.5220; 1, 0.3685; 2, 0.0975; 3, 0.0115; 4, 0.0005]

Kumulierte Wahrscheinlichkeitsverteilung

P(X ≤ b) = ∑ (x = 0 bis b) (COMB(4, k)·0.15^k·0.85^{4 - k})

[0, 0.5220; 1, 0.8905; 2, 0.9880; 3, 0.9995; 4, 1]

b) Mit welcher WS sind in einer Stichprobe aus 10 Stücken genau 2 davon defekt?

P(X = 2) = COMB(10, 2)·0.15^2·0.85^{10 - 2} = 0.2759

c) Wie groß ist die WS, dass aus 8 entnommenen Stücken höchstens 1 Stück defekt ist.

P(X ≤ 1) = ∑ (k = 0 bis 1) (COMB(8, k)·0.15^k·0.85^{8 - k}) = 0.6572