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Hallo die Aufgabe lautet so :

Bild Mathematik

Hallo die Aufgabe ist im Bild angehängt .
Ich kenne die Definiton der konvexe Hülle bzw. habe erkannt das die Menge M die funktion f(x)=x2 in parameterdarstellung angibt . aber wie kann ich die Darstellung der Konvexen Hülle nun so nachweisen? Danke !

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Zeige:

  1. {(x,y)t ∈ ℝ2 : y ≥ x2} ist konvex.
  2. Ist x ∈ ℝ und y ≥ x2, dann gibt es x0, x1 ∈ ℝ, so dass (x, y)t auf der Strecke zwischen (x0, x02)t und (x1, x12)t liegt.
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Hallo und danke erstmals !

zu 2)

sei x0≠x1

(x,y)∈M⇔y≥x^2

tx0^2+(1−t)x1^2≥(tx0+(1−t)x1)^2

fürht durch Umformungen zu ......

0≥(t^2−t)(x0−x1)^2 , da aber x0≠x1 gewählt wurde ist (x0-x1)^2 ≥0 , daher kann dies nur zutreffen wenn t∈[0,1] ist

zu1)
{(x,y)t ∈ ℝ2 : y ≥ x2}=K

Eine Menge ist Konvex wenn 2 für beliebige Punkte die Verbindungstrecke wieder in der Menge liegt . Daher seien P1=(x0,y0) , P2=(x1,y1) ∈K dann gilt zu zeigen ;


Sp1p2∈K : Sp1p2=t*p1+(1-t)*p2=t*(x0,y0)+(1-t)(x1,y1) weil P1,P2∈K gilt y0≥x0^2 und y1≥x1^2

daher auch
t*(x0,y0)+(1-t)(x1,y1) ≥t*(x0,x0^2)+(1-t)(x1,x1^2)=(tx0+(1-t)x1,tx0^2+(1-t)x1^2)∈K

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Gefragt 28 Okt 2015 von Gast

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