Integral durch geeigente Substitution zurückführen

Question

Hallo Community,

bei einer trigonometrischen Substitution ist mir ein Integral gegeben, dass ich auf ein Integral zurückführen muss, in welchem nur noch x steht statt cos und sin.

Wie komme ich hier auf die Substitute für cos(phi) udn sin(phi).

Hier eine beispielhafte Aufgabe:

Integral von (sin(phi)/(3cos(phi)-4sin(phi)-5) dphi.

Dieses Integral muss auf Integral von (dx/(3x-4(25-x²)^1/2-25)) zurückgeführt werden.

(Hab Montag Klausur und verzweifele langsman an diesen Substitutionen)

Gruß Hans

Answer 1

Für Phi habe ich x geschrieben:

Das passiert durch die sog . Weierstrass Substitution: (Herleitung siehe hier)

u= tan(x/2)

http://jekyll.math.byuh.edu/courses/m113/handouts/weierstrass.pdf

Wenn Du dann für sin(x) und cos(x) und dx die entsprechenden Terme in der Tabelle unten einsetzt , kommst Du auf:

= -2 ∫ (u du)/(4 u⁴+4 u³+5 u²+4u+1)

= -2  ∫ (u)/((2u+1)² (u²+1)) du

weiter geht es dann mit Partialbruchzerlegung