Vollständige Induktion Beweis werte brechnen

Question

folgende Aufageb ist zu lösen:

Die Zahlen x1,x2,x3,...sei für n größer gleich 1 definiert durch  x1=1, x2=2 und xn+1=2xn-xn-1

Hierbei sollen x3,x4,x5,x6,x7 und x8 berechnet werden. Dabei soll zudem die Frage beantwortet werden, wie die Zahlen xn allgemein aussehen. Die Aufageb soll dabei durch vollständige Induktion gelöst werden.

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand seinen Lösungsweg aufzeigen könnte

Comments

Tipp: Die Vermutung \(x_n=n\) trifft für \(n=1\) und \(n=2\) zu. Falls die Vermutung für \(n\) und \(n-1\) gilt, folgt \(x_{n+1}=2x_n-x_{n-1}=2n-(n-1)=n+1\).

Answer 1

Lösung steht ja schon im Kommentar.

Erst mal rechnen:

definiert durch  x1=1, x2=2 und xn+1=2xn-xn-1

gibt  x₃ = 2*2 - 1 = 3   

x₄ = 2*3 - 2 = 4    etc. Vermutung   x_n = n .

Induktionsbeweis siehe Kommentar.