Mengenlehre, Beweis durch vollständige Induktion

Question

Beweise durch vollständige Induktion, dass

A1 ∩ A2 ∩...∩ An =A1 \ [(A1 \A2) ∪ (A1 \A3)∪...∪(A1 \An)]

Wie soll man hier vorgehen, die rechte Seite kann ich mir nicht wirklich visualisieren, mir raucht schon der Kopf. Danke für jede Hilfe. Liebe Grüße

Comments

die rechte Seite kann ich mir nicht wirklich visualisieren

Für welche Werte von \(n\) hast du es denn versucht? Ich fand das für \(n=2\) recht einfach und für \(n = 3\) würde ich es wahrscheinlich zeichnerisch hinbekommen.

Answer 1

Für die vollständige Ind. (n=1 ist wohl klar.) kannst du beim Ind.schritt

(Gleichung von rechts nach links lesen.)

das Distributivgesetz für die Mengendifferenz anwenden und hast

A1 \ [(A1 \A2) ∪ (A1 \A3)∪...∪(A1 \An)∪(A1 \A_n+1)]

= A1 \ [(A1 \A2) ∪ (A1 \A3)∪...∪(A1 \An)]     ∩   [  A1 \ (A1 \A_n+1)]

Dann beachte A1 \ (A1 \An+1) = An+1

und wende die Ind.annahme an:

A1 ∩ A2 ∩...∩ An    ∩  A_n+1    q.e.d.