3a = 3b (mod 10) <=> a = b (mod 10)

Question

Hallo , so ist die frage 

 3a= 3b mod 10 ⇔ a = b mod 10
Meine lösung wäre
"=>"
3a = 3b mod 10 =>
10 | (3a - 3b) => 10 | 3 (a - b)
aber 10 ist kein teiler von 3 => 10 | a -b =>
a = b mod 10
"<="
Nach mod Rechenregeln a = b mod 10 => ca = cb mod 10
Sei hier c=3 dann stimmt
Wäre so richtig ?

Außerdem steht in die frage finde ein c ∈ℤ  So dass c.3 = 1 mod 10 

Wofür ist das gedacht? bzw. ich kann die in die aufgabe nicht verwenden wobei die c ist 7 

danke im Voraus 

Answer 1

Den Beweis hast du richtig geführt.

Außerdem lautet die Frage: finde ein c ∈ℤ  So dass c·3 = 1 mod 10.

Das ist eine Übung zum Rechnen mit Kongruenzen.

Es gilt 9≡-1mod 10

und  81≡1 mod 10

Dann ist 27·3 ≡1 mod 10 und c =27  aber auch c= - 3 ist eine mögliche Lösung, denn
9≡-1mod 10 oder -9≡1mod 10 oder -3·3≡1mod 10.