Stochastik Binominalverteilung "Anton kann nur an den ersten drei und den letzten zwei Tagen Ski fahren"

Question

Tag die Herrn,

ich habe eine Frage bezüglich der Binomanverteilung in dieser Aufgabe.

Ein Skiort wirbt mit Schneesicherheit und seinem großen Skigebiet. Leider kommt es in diesem Gebiet auch zu Schneestürmen, dann sind die Pisten gesperrt. Langjährige Wetteraufzeichnungen in den Bergen zeigen, dass im Monat Januar 20 % der Tage Sturmtage sind. Der Besitzer eines Hotels in diesem Skiort bietet folgendes Angebot für den Monat Januar: Sieben Tage Halbpension kosten für eine Person 500 €. Falls während dieser sieben Tage mehr als zwei Sturmtage sind, erhält der Gast eine Rückerstattung von 100 €.

Anton bucht dieses Angebot.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse:
A: Anton erlebt keinen Sturmtag.
B: Anton kann nur an den ersten drei und den letzten zwei Tagen Ski fahren.
C: Anton erlebt mindestens zwei Sturmtage.

Und zwar geht es um das Ereignis B, welches sich (laut meinen Rechnungen) nicht richtig lösen lässt.

Mein Gedankengang war dieser hier:

$$ X\quad =\quad Freie\quad Tage\\ p\quad =\quad 0.8\quad (Freie\quad Tage)\\ Ersten\quad drei\quad Tage\quad =\quad Montag,\quad Dienstag,\quad Mittwoch\\ Letzten\quad zwei\quad Tage\quad =\quad Samstag,\quad Sonntag\\ \\ Zwischendrin\quad =\quad Donnerstag\quad (4.\quad Wochentag),\quad Freitag\quad (5.\quad Wochentag)\\ \\ P(X\quad \le \quad 3\quad UND\quad X\quad \ge \quad 6)\quad =\quad { F }_{ 7;0.0.8 }(3)\quad +\quad (1-({ F }_{ 7;0.0.8 }(5))\quad   $$

Hilfe bitte!

Answer 1

Für B brauchst du keine Binomialverteilung, denn es geht ja genau um die Abfolge

( S für Sturm K für kein Sturm)

KKKSSKKDas wäre quasi ein Pfad im Baumdiagramm

und damit p(KKKSSKK) = 0,8⁵*0,2² = 0,0131  = 1,3%

Comments

Also wäre hier eine Binominalverteilung NICHT möglich?

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Bei Binomialverteilung geht es doch immer um die Anzahl

der Treffer bei n Versuchen.

Beim wievielten Schuss der Treffer erlangt wird, wird dabei

nicht beachtet, deshalb sind ja immer die Binomialkoeffizienten

mit im Spiel.Du könntest natürlich auch nehmenp =      p( X=2) /  (7 über 2)

Answer 2

A: Anton erlebt keinen Sturmtag.

P(A) = P(KKKKKKK) = 0.8^7 ≈ 0.2097

B: Anton kann nur an den ersten drei und den letzten zwei Tagen Ski fahren.

P(B) = P(KKKSSKK) = 0.8^3 * 0.2^2 * 0.8^2 = 0.8^5 * 0.2^2 ≈ 0.0131

Mit der Binomialverteilung berechnet man, dass man genau 2 Sturmtage hat. Die können dann aber an zwei beliebigen Tagen auftreten.

P(X = 2) = (7 über 2) * 0.2^2 * 0.8^5 = 21 * 0.2^2 * 0.8^5 ≈ 0.2753

Es gibt also 21 Pfade, bei denen genau 2 Sturmtage auftreten. KKKSSKK ist nur einer dieser Pfade. SSKKKKK wäre ein anderer dieser Pfade. Allerdings ist in der Aufgabe genau vorgegeben, an welchen beiden Tagen die Sturmtage sein sollen.

C: Anton erlebt mindestens zwei Sturmtage.

X: Anzahl an Sturmtagen

P(X ≥ 2) = 1 - P(X ≤ 1) = 1 - P(X ≤ 1) = 1 - 0.5767 = 0.4233

So wie die Wahrscheinlichkeit oben notiert ist, wäre es auch verkehrt.

X: Anzahl an Tagen ohne einen Sturm

P(X ≤ 3 UND X ≥ 6) würde bedeuten, die Anzahl der Tage ohne einen Sturm ist höchstens 3 UND mindestens 6. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist aber genau 0, weil sich X ≤ 3 UND X ≥ 6 gegenseitig ausschließen. Die Rechnung nach dem Gleichheitszeichen berechnet dann auch eine Wahrscheinlichkeit, und zwar dass die Anzahl der Tage ohne Sturm höchstens 3 ODER mindestens 6 ist. Aber wie bereits gesagt sollen es genau 5 Tage ohne Sturm sein, und zwar genau die ersten 3 und die letzten zwei Tage.