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ich habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiterkomme:


Sei n∈ℕ und X={0,1}n. Man zeige dass d(a,b)= ∑ni=1 |ai-bi| eine MAtrix auf X ist.

Ist x vollständig?

ist (X, ||*||) mit ||a||=d(a,0) ein normierter Raum?


ich bitte um hilfe

von

Die Matrix soll wohl eine Metrik sein ??

1 Antwort

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X={0,1}n   Es geht also um n-Tupel, deren Komponenten nur 0en und 1en sind.

Zum Nachweis einer Metrik musst du die 3 Metrik-Axiome überprüfen:

1.    d(x,y)= 0 <==>    x=y    

Seien also  x, y aus X mit d(x,y) = 0

                           < = >   ∑ni=1 |ai-bi|

Da alle Summanden nicht negativ sind, gilt Summe = 0 genau dann, wenn

alle Summanden = 0 sind, also    |ai-bi|  = 0   für alle i ∈ { 1 ; ... ; n } .

Also   für alle i ∈ { 1 ; ... ; n }    ai-bi = 0  also    ai  = b und das heißt ja


gerade  a = b.



2.  Symmetrie :  offenbar ist für alle i      |ai-bi|  =  |bi-ai

und damit sind  auch die Summen gleich   also d(a,b) = d(b,a) .


3. Dreiecksungleichung:     Seien a,b,c aus X .  Dann gilt

für alle    i ∈ { 1 ; ... ; n }       |ai-bi|  ≤   |ai-ci| + |ci-bi|   wegen der 
 
Dreiecksungleichung in IR.   Also   d(a,b) =

  ∑ni=1 |ai-bi|  ≤   ∑ni=1 ( |ai-ci| + |ci-bi|  ) 

=   ∑ni=1  |ai-ci|  +     ∑ni=1  |ci-bi|  = d(a,c) + d(c,b) .      q.e.d.


von 229 k 🚀

Deine Metrik-Axiome sind falsch.

Kann keinen Fehler finden. Sag mal genauer.

(1a) \( d(x,y) \geq 0 \) fehlt

(1b) \( d(x,y) = 0 \iff x = y \)


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