Konvergenz Reihe mit Majorantenkriterium. Geht grob 1/n^2?

Question

könnte man hier auch nur mit 1/n^2

abschätzen oder wäre das zu grob?

ich verstehe nicht wie die immer das n festlegen also dass dieses hier >=3 sein soll?

Answer 1

Hallo sohpi,

nein, dennn

2/n²  > 1/(n²-3)  für n >√6  ,  deshalb ist 2/n² eine konvergente Majorante von  1/(n²-3)

1/n²  <  1/(n²-3)   für  n > 3  ,   1/n² ist also keine Majorante

Gruß Wolfgang

Comments

stimmt da lag ich falsch!

ich tue mich immer noch schwierig mit dem abschätzen.

wie kommt man auf n^2 >=6?

und n^2 -3>=0.5n^2?

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> wie kommt man auf n² >=6? 

Aus Erfahrung oder gefühlsmäßig  will man zu 1/(n²-3) eine Majorante k / n²  mit k∈ℕ  finden.

1/(n²-3) ≤ k / n²  →_n>√3   n² ≤ k * (n² - 3)  →  (k-1) * n² ≥ 3k  

mit k=2, also n² ≥ 6  wird man dann fündig.

Und dann tun Mathematiker so, als hätten sie das von Anfang an gewusst (und das ist beim Nachvollziehen einer Begründung extrem lästig und deshalb pädagogisch verwerflich)    :-)

       [ Für n² ≥ 6 .....  ]

Weiter gilt dann:

n² ≥ 6  | : 2 

1/2 n² ≥ 3  | + 1/2 n² 

     (weil man links n² - 3 und rechts etwas mit n² haben will)

n² ≥ 3 + 1/2 n²    | - 3

n² - 3  ≥  1/2 * n²  =  n² / 2

Dann bildet man auf beiden Seiten den Kehrwert  [ ≥ → ≤ ]