Eigenwerte und Spektrum eines Operators bestimmen (Funktionalanalysis)

Question

Seien $$(\lambda_n)\in \mathbb{C^\infty}$$ und $$A: l_2(\mathbb{N}) \to l_2(\mathbb{N})$$ der Operator mit $$A(u_n)=(\lambda_n u_n)$$.

(1) Zeigen Sie, dass A beschränkt ist genau dann, wenn die Folge $$(\lambda_n)$$ beschränkt ist.

Ich habe die beschränkt der Folge lambda_n verwendet um die Beschränkt des Operators zu zeigen. Müsste ich jetzt noch den anderen Fall zeigen, dass wenn  lambda_n  nicht beschränkt ist, dann auch der Operator unbeschränkt ist?

(2) Sei jetzt lambda_n beschränkt. Bestimmen Sie die Eigenwerte und das Spektrum von A.

Da A beschränkt ist, weiß ich schon mal das dieser Linear, Stetig und noch andere Eigenschaften besitzt (da diese alle äquivalent miteinander sind). Trotzdem fehlt mir keine Idee wie ich die Eigenwerte

$$A(u_n) = mu (u_n)$$ bestimmen soll

Comments

Überleg mal, wie der Operator auf die Basisvektoren (1,0,0,...), (0,1,0,....) usw. wirkt.

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Okay, nehmen wir an, dass jedes Element aus $$l_2$$ sich wie folgt darstellen lassen kann $$(u_n)=(\sum_{n \in \mathbb{N}} \mu_n e_n)$$, d.h. die Familie $$\{e_n|n \in \mathbb{N} \}$$ bildet eine Basis von l_2,

Dann kann ich den Operator wie folgt schreiben

$$A(u_n) = A(sum_{n \in \mathbb{N}} \mu_n e_n) = ( \sum_{n \in \mathbb{N}} \mu_n e_n \lambda_n)$$

Hmm, komme gerade mit der Notation durcheinander :). Am Ende wird es aber darauf hinaus laufen, dass ich jedem Folgeglied ein Eigenwert zuweise. Ich brauche aber einen Eigenwert ^^

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Wenn es ein $a\in l^2$ gibt, sodass $Aa = \mu a$ mit $\mu\in\mathbb C$ ist, dann heißt $a$ Eigenvektor von $A$ mit dem Eigenwert $\mu$. Jetzt gilt für oben genannte Basis:
$$A e_k = (0,...,\lambda_k\cdot 1,0,...) = \lambda_k e_k,$$
also sind die $e_k$ Eigenvektoren mit Eigenwerten $\lambda_k$. (Ein beliebiges $u\in l^2$ ist im Allg. aber natürlich kein Eigenvektor.)

Edit: die Eigenwerte sind also die Zahlen $\lambda_1,\lambda_2,...$.

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Okay, mein Denkfehler lag darin, dass ich in meinem Beweis jedes Element in l_2 als Eigenvektor betrachtet habe, was natürlich Mist ist :)

Hmm, dann muss ja erstmal eine Auswahl treffen welche Elemente von l_2 als Eigenvektoren in betracht kommen (die von dir erwähnten Basisvektoren wären schon mal drinnen) können.

Trotz deines Hinweises komme ich auf keine leider auf keine Idee...

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*Trotz deines Hinweises komme ich auf keine Beweisidee

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Na aber das sind doch bereits alle. Stell dir vor, es gilt

$$Au = \lambda u$$

für ein $u \neq 0$. Dann können wir $u= \sum u_n e_n$ entwickeln und haben

$$Au = \sum u_n A e_n = \sum u_n\lambda_n e_n\quad = \quad \lambda u = \sum \lambda u_n e_n$$

also $$\sum (\lambda - \lambda_n)u_n e_n = 0.$$

Das heißt, dass es ein $\lambda_k = \lambda$ gibt (da ja nicht alle Koeffizienten $u_j$ verschwinden), es gibt also keine weiteren Eigenwerte als die, welche wir oben gefunden haben.