Wenn es ein a∈l2 gibt, sodass Aa=μa mit μ∈C ist, dann heißt a Eigenvektor von A mit dem Eigenwert μ. Jetzt gilt für oben genannte Basis:
Aek=(0,...,λk⋅1,0,...)=λkek,
also sind die ek Eigenvektoren mit Eigenwerten λk. (Ein beliebiges u∈l2 ist im Allg. aber natürlich kein Eigenvektor.)
Edit: die Eigenwerte sind also die Zahlen λ1,λ2,....