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Seien (λn)C(\lambda_n)\in \mathbb{C^\infty} und A : l2(N)l2(N)A: l_2(\mathbb{N}) \to l_2(\mathbb{N}) der Operator mit A(un)=(λnun)A(u_n)=(\lambda_n u_n).


(1) Zeigen Sie, dass A beschränkt ist genau dann, wenn die Folge (λn)(\lambda_n) beschränkt ist.

Ich habe die beschränkt der Folge lambda_n verwendet um die Beschränkt des Operators zu zeigen. Müsste ich jetzt noch den anderen Fall zeigen, dass wenn  lambda_n  nicht beschränkt ist, dann auch der Operator unbeschränkt ist?


(2) Sei jetzt lambda_n beschränkt. Bestimmen Sie die Eigenwerte und das Spektrum von A.

Da A beschränkt ist, weiß ich schon mal das dieser Linear, Stetig und noch andere Eigenschaften besitzt (da diese alle äquivalent miteinander sind). Trotzdem fehlt mir keine Idee wie ich die Eigenwerte

A(un)=mu(un) A(u_n) = mu (u_n) bestimmen soll

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Überleg mal, wie der Operator auf die Basisvektoren (1,0,0,...), (0,1,0,....) usw. wirkt.

Okay, nehmen wir an, dass jedes Element aus l2l_2 sich wie folgt darstellen lassen kann (un)=(nNμnen)(u_n)=(\sum_{n \in \mathbb{N}} \mu_n e_n), d.h. die Familie {ennN} \{e_n|n \in \mathbb{N} \} bildet eine Basis von l_2,


Dann kann ich den Operator wie folgt schreiben

A(un)=A(sumnNμnen)=(nNμnenλn) A(u_n) = A(sum_{n \in \mathbb{N}} \mu_n e_n) = ( \sum_{n \in \mathbb{N}} \mu_n e_n \lambda_n)


Hmm, komme gerade mit der Notation durcheinander :). Am Ende wird es aber darauf hinaus laufen, dass ich jedem Folgeglied ein Eigenwert zuweise. Ich brauche aber einen Eigenwert ^^

Wenn es ein al2a\in l^2 gibt, sodass Aa=μaAa = \mu a mit μC\mu\in\mathbb C ist, dann heißt aa Eigenvektor von AA mit dem Eigenwert μ\mu. Jetzt gilt für oben genannte Basis:
Aek=(0,...,λk1,0,...)=λkek, A e_k = (0,...,\lambda_k\cdot 1,0,...) = \lambda_k e_k,
also sind die eke_k Eigenvektoren mit Eigenwerten λk\lambda_k. (Ein beliebiges ul2u\in l^2 ist im Allg. aber natürlich kein Eigenvektor.)

Edit: die Eigenwerte sind also die Zahlen λ1,λ2,...\lambda_1,\lambda_2,....

Okay, mein Denkfehler lag darin, dass ich in meinem Beweis jedes Element in l_2 als Eigenvektor betrachtet habe, was natürlich Mist ist :)


Hmm, dann muss ja erstmal eine Auswahl treffen welche Elemente von l_2 als Eigenvektoren in betracht kommen (die von dir erwähnten Basisvektoren wären schon mal drinnen) können.


Trotz deines Hinweises komme ich auf keine leider auf keine Idee...

*Trotz deines Hinweises komme ich auf keine Beweisidee

Na aber das sind doch bereits alle. Stell dir vor, es gilt

Au=λuAu = \lambda u

für ein u0 u \neq 0 . Dann können wir u=unenu= \sum u_n e_n entwickeln und haben

Au=unAen=unλnen=λu=λunen Au = \sum u_n A e_n = \sum u_n\lambda_n e_n\quad = \quad \lambda u = \sum \lambda u_n e_n

also (λλn)unen=0.\sum (\lambda - \lambda_n)u_n e_n = 0.

Das heißt, dass es ein λk=λ\lambda_k = \lambda gibt (da ja nicht alle Koeffizienten uju_j verschwinden), es gibt also keine weiteren Eigenwerte als die, welche wir oben gefunden haben.

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