Beweisen Sie analog zum Beispiel in der Vorlesung durch vollständige Induktion:

Question

Ich habe den Induktionsanfange mit :

A(n) n=1

(3x1x2)=  1(3x1x1) : 2

2. Induktionsbehauptung:

 Ein n∈ℕ, n>0:

∑k=1 (3k-2)= n(3n-1):2

 Weiter komme ich leider nicht.

Answer 1

_k=1∑ⁿ(3k-2)= n(3n-1)/2 ist die Induktionsvoraussetzung.

Addiere links das nächste Glied und ersetze rechts n durch n+1:

_k=1∑ⁿ(3k-2)+3(n+1)-2= (n+1)(3(n+1)-1)/2. Das ist gewissermaßen die Behauptung.

Setze jetzt die Induktionsvoraussetzung links ein

n(3n-1)/2 +3(n+1)-2= (n+1)(3(n+1)-1)/2.

Löse jetzt alle Klammern auf und multipliziere beide Seiten mit 2.

Answer 2

Hallo a_kobu,

Willkommen in der Mathelounge.

Der Induktionsschritt besagt, dass

$$\sum_{k=1}^{n+1}(3k-2)=\frac{1}{2}(n+1)(3(n+1)-1)=\frac{1}{2}(3n^2+5n+2)$$

sein soll. Dies wäre zu beweisen mit Hilfe der Aussage, dass \(\sum_{k=1}^n(3k-2)=\frac{1}{2}n(3n-1)\) ist.

$$\sum_{k=1}^{n+1}(3k-2)=\sum_{k=1}^{n}(3k-2) + (3(n+1)-2)=\frac{1}{2}n(3n-1) + (3n+1)=\frac{1}{2}\left( 3n^2-n+6n+2 \right)\\=\frac{1}{2}(3n^2+5n+2)$$

q.e.d.