f ist differenzierbar auf Intervall. Folgende Aussagen sind äquivalent ... Lipschitzstetig

Question

 Ich bräuchte einmal hilfe bei der aufgabe

Sei I ⊂ ℝ ein Intervall und f : I → ℝ differenzierbar. Sei L ∈ℝ. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

(a) Für alle x,y ∈ I gilt |f(x)−f(y)|≤ L·|x−y|.

(b) Für alle x ∈ I gilt |f ' (x)|≤ L.

Bestimmen Sie hiermit das größte Intervall I ⊂ [0,π] ⊂ ℝ, für welches cos : I → ℝ die Bedingung (a) mit L = 3/ 4 erfüllt.

zu b) f : D → R heißt Lipschitzstetig mit Konstante L ∈ [0,∞), falls gilt: |f(x)−f(y)|≤ L|x−y| für alle x,y ∈ D.

Sei f Lipschitzstetig mit Konstante L > 0. Zu x₀ ∈ D und gegebenem ε > 0 wählen wir δ = ε/L > 0, und erhalten für |x−x0| < δ |f(x)−f(x0)|≤ L|x−x0| < Lδ = ε.

Comments

Mein Ansatz:
Vor: I ⊂ ℝ ein Intervall, f : I → ℝ differenzierbar, L ∈ ℝ
Beh: a)Für alle x,y ∈ I gilt |f(x)−f(y)|≤ L·|x−y|.
b) Für alle x ∈ I gilt |f ' (x)|≤ L.

Bew: a) |f(x)−f(y)|≤ L·|x−y| heißt Lipschitzstetig mit Kontante L aus [0, oo]. Jede Lipschitzsteitge Funktion mit konstante f: D--> RR ^m ist stetig.--> Sei f Lipschitzsttig mit Konstante L> 0 zu x_0 aus D und gegebenen epsilon >0 wählen wir delta = epsilon / L  >0 und erhalten für |x-x_0|< delta--> |f(x)-f(x_0)| <=L |x-x_0|<L delta= epsilon

wie kann ich weitermachen?

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Also muss ich a so hinnehmen und den dann mit |x−y| teilen und dann hab ich den diferrenzenquotienten da stehen und das sollte eig das gleiche sein wie f′, so nun meine Frage,
wie teile ich a durch |x−y|

würde das so ausreichen?

|f(x)−f(y)|≤L|x−y| hier rechne ich dann geteilt fur |x−y| daraus folgt dann
(|f(x)−f(y)||x−y|)≤L

und (|f(x)−f(y)||x−y|) ist das gleiche wie f′(x)≤L

und wie zeige ich die Rückfolgerung? also b nach a ? Ich weiss, dass ich den Mittelwertsatz anwenden muss aber wie genau das weiß ich nicht...

da bräuchte ich mal Hilfe von euch..