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Sei \( (X, d) \) ein metrischer Raum und \( f: X \rightarrow \mathbb{R} \) eine beschränkte, gleichmäßig stetige (o.B.d.A nicht-negative) Funktion. Weiter sei
\( f_{n}(x):=\inf \{f(y)+n \cdot d(x, y) \mid y \in X\}, \quad n \in \mathbb{N} \)
Zeigen Sie:
(a) \( f_{n} \) ist Lipschitz-stetig mit Lipschitzkonstante \( L=n \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).
Hinweis: Nutzen Sie die Dreiecksungleichung der Metrik.
(b) \( f_{n} \) konvergiert gleichmäßig gegen \( f \).
Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass
\( \forall \delta>0 \exists N \in \mathbb{N} \forall n \geq N \forall x \in X: f_{n}(x)=\inf \left\{f(y)+n \cdot d(x, y) \mid y \in K_{\delta}(x)\right\} . \)
Erinnern Sie sich zudem an die Rechenregeln für inf bzw. sup.
(c) Beweisen Sie den Hinweis in (b).
Problem/Ansatz: Hallo, ich bin momentan leider etwas krank und hänge total hinterher. Ich habe bei dieser Aufgabe leider keine Idee und die Mitschriften haben auch nicht geholfen. Hat jemand eine Lösung für mich? Ich bedanke mich schon mal im Voraus:)
LG Noel
