bestimmen der faktorisierung in normierte primpolynome

Question

Bestimmen Sie für die Polynome die Faktorisierung in normierte Primpolynome. 

(a) K=Q und f(X)= X5+2X4−3X3−6X2 

(b) K=R und g(X)= X5+2X4−3X3−6X2 

(c) K = F7 und h(X) = 6X6 + 1. 

Answer 1

(a) K=Q und f(X)= X5+2X4−3X3−6X2   = x² * ( x+2) * ( x² - 3 )

(b) K=R und g(X)= X5+2X4−3X3−6X2   = x² * ( x+2) * ( x - √3 ) * ( x + √3 )

(c) K = F7 und h(X) = 6X6 + 1.  = 6 * ( x⁶ + 6 )    denn 6*6=1  ( mod 7 ) 

= 6 * ( x⁶  - 1  ) 

=  6 * ( x  - 1  ) * ( x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1 )

=  6 * ( x  - 1  ) * (x-2) * (  x⁴ + 3x³ + x + 3 )

=  6 * ( x  - 1  ) * (x-2) * (  x³*(x + 3)  + x + 3 )

=  6 * ( x  - 1  ) * (x-2)*(x+3) * (  x³  +  1 )

=  6 * ( x  - 1  ) * (x-2)*(x+3) * (x-5) *(  x²  +5x + 4 )

=  6 * ( x  - 1  ) * (x-2)*(x+3) * (x-5) *  (x+1) *( x + 4 )