Untersuchen Sie die Funktion auf Extremstellen und Sattelpunkte unter einer Nebenbedingung

Question

Untersuchen Sie die Funktion $$ f(x,y,z)= x^{2} + xz + y^{2} $$

auf Extremstellen und Sattelpunkte unter der Nebenbedingung

$$ g(x,y,z)= x + y + z -1 =0 $$ 

Comments

Extremstellen o. Sattelpunkt via Lagrange herausfinden

https://www.mathelounge.de/442955/untersuchen-extremstellen-sattelpunkte-nebenbedingung

Ich habe gerade eben aus Langeweile "Mathelounge" durchstöbert und eine Aufgabe mit Lagrange gefunden. Ich hab einen anderen Lösungsweg rausbekommen und wollte fragen, ob das auch richtig ist.

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Es ist leider schwieriger, sich hier im Forum anzumelden, als ein Visum für Nordkorea zu bekommen.

Daher habe ich vollstes Verständnis dafür, dass du einen neuen Thread für eine bereits bestehende Frage eröffnet hast, anstatt Deine Rückfrage im ursprünglichen Thread  zu stellen.

Das Internet ist eben für uns alle Neuland!

Answer 1

Mit Lagrange-Ansatz

L(x,y,z,λ) = x² + xz + y² + λ(x+y+z-1)

L'_x(x,y,z,λ) = 2x + z +  λ

L'_y(x,y,z,λ) = 2y +  λ

L'_z(x,y,z,λ) = x +  λ

L'_λ(x,y,z,λ) = x+y+z-1

alles gleich 0 setzen gibt  y = x/2 und  λ = -x

und dann in der ersten     z = -x also in der 4. Gleichung

x  +  x/2  -  x - 1 = 0

                  x = 2

Also kritischer Punkt   ( 2 ;  1  ;  - 2 )   .

Jetzt mit der Hessematrix entscheiden, ob Sattel oder Extrempunkt.

Comments

Was genau muss ich in die Hesse matrix eintragen und mit welcher Methode komme ich auf die Sattelpunkte oder Extrempunkte

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Also eigentlich brauche ich nur die Matrix , ich finde kein Beispiel wie der aussehen soll.