Prüfe die Reihe auf Konvergenz / Divergenz: Summe ( 1/(n^2 + 2))

Question

Hi ich möchte bestimmen, ob die Reihe Konvergiert oder Divergiert.

$$ \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 }+2 }  }  $$

Ich habe dazu das Quotientenkriterium genutzt und bin damit auf gekommen:

$$ \frac { 1 }{ { (n+1) }^{ 2 }+2 } \frac { { n }^{ 2 }+2 }{ 1 } =\frac { { n }^{ 2 } }{ { (n+1) }^{ 2 } } { =(\frac { { n }^{ 1 } }{ { (n+1) }^{ 1 } } ) }^{ 2 } $$

Wenn man hier den Limes nimmt kommt man auf 1 was nach Quotientenkriterium keine Aussage ist, daher habe ich dann  den Satz der Konvergenz angewandt.

$$ \lim _{ n->\infty  }{ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 }+2 } = } \frac { 1 }{ \infty  } =0  $$

Zwei Fragen, ist der Ansatz soweit richtig und wie wird der Limes richtig ausgeschrieben, also wie rechnet man den dort um?

Answer 1

Warum lässt du die +2 im Zähler und Nenner auf ein mal weg?

Den Satz der Konvergenz?  Weil das Quotientenkriterium nicht geht,  sagst du,  dass die Folge Nullfolge ist.  Und jetzt?

Es geht hier doch um die Konvergenz der Reihe.  Mit dem was du zuletzt machst,  kannst du höchsten zeigen dass eine Reihe divergiert,  nämlich wenn die Folge in der Reihe keine Nullfolge ist.

Wisst ihr schon,  dass die Reihe über 1/n^2 konvergiert?  Dann kannst du einfach das Majorantenkriterium anwenden.

Comments

Oh, da habe ich glatt die 2 herausreduziert :D

Majorantenkriterium, ok das habe ich mir fast gedacht. 

Aber geht es auch ohne Majorantenkriterium ?

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Hi nochmal,

also wäre das dann $$ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 }+2 } \le \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } }  $$

Ich habe dann also eine Majorantenreihe?

Marvin, kannst du mir zeigen, wie man das richtig aufschreibt?

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Nehme deine Ungleichung aus dem Kommentar und folgere aus dieser dass auch die Summen der jeweils beiden Seiten über unendlich dieser Ungleichung unterliegen.

Dann sagst du der Limes existiert,  also muss dieser auch für die linke Seite existieren. 
Bin gerade leider unterwegs,  deswegen kann ichs dir nicht selber ausführlich aufschreiben.

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Für \(n \ge 2\) ist \(\frac{1}{n^2 + 2} \le \frac{1}{n(n - 1)}\). Schätze deine Reihe so ab und mache auf der rechten Seite Partialbruchzerlegung. Das gibt eine Teleskopsumme, deren Grenzwert leicht zu sehen ist.

Answer 2

prinzipiell gilt:

bei gebrochenrationalen Folgen unter der Summe liefern Quotienten und Wurzelkriterium

immer 1 als Ergebnis, sind also unbrauchbar.

Man kann dafür aber gegenüber 1/n^2 oder 1/n abschätzen. Ist hier auch ganz einfach ;)

Answer 3

Deine Rechnung ist falsch. Ich verweise hier auf den Satz: Differenzen und Summen kürzen nur die .....

Das Quotientenkriterium bringt hier nichts. Der Grenzwert ist - auch wenn man richtig rechnet - eins.

Wenn die zugrunde liegende Folge eine Nullfolge ist, kannst Du keine Aussage über die Konvergenz der Reihe machen !!!

Versuch es mal mit dem Majorantenkriterium.