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Guten Tag MatheLounge Community,

zurzeit versuche ich die Reihe $$ \sum_{n=1}^{\infty} ((-1)^n \frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} )$$ auf Konvergenz bzw. Divergenz zu untersuchen.
Ich habe überlegt, dass Leibnizkriterium zu verwenden.

Demnach muss a_n eine Nullfolge sein sowie monoton fallen, damit sie konvergiert.

Mein Rechenweg:

$$ \underline{1.Nullfolge} $$

$$ Sei \, a_n=\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}$$
$$ zu \, zeigen: a_n \, ist \, eine \, Nullfolge:$$
$$ a_n=\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}  $$
$$ \iff \frac{1}{n}+(\frac{1}{n}*\frac{1}{n}) $$

$$Da \, \frac{1}{n} \, gegen \, 0 \, konvergiert \, \Rightarrow lim \, a_n=0  $$
Somit ist a_n eine Nullfolge.

$$\underline{2.a_n \, ist \, monoton \, fallend:} $$

$$a_n \geq a_n+1  $$
$$\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} \geq \frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2} \, \, | *n^2 $$
$$n+1 \geq \frac{n^2}{(n+1)^2}  \, \, | -n $$
$$1 \geq n+\frac{n^2}{(n+1)^2} $$

$$\Rightarrow \frac{n^2}{(n+1)^2} \leq 1 $$

$$ \Rightarrow Somit \, ist \, meine \,  Reihe \, konvergent \, für \, alle \, n \in \mathbb{R}$$
$$■$$

Ist mein Ergebnis richtig oder habe ich einen Fehler gemacht?


BlackFrost

EDIT(Lu) Fehlende Klammer inzwischen ergänzt.

Avatar von

mmmh deine Reihe lautet

$$\sum_{n=1}^{\infty} ((-1)^n \frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}$$

Da fehlen irgendwo Klammern,du hast für den Fall


$$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n (\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})$$
gerechnet. Für diese Reihe stimmen deine Betrachtungen.

Vielen Dank für die Rückmeldung.

Mein Fehler, hier die korrigierte Reihe:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} ((-1)^n \frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})$$

Ist mein Ergebnis für diese Reihe richtig?

1 Antwort

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Beste Antwort

In diesem Falle zerlegst du die Reihe in zwei Stück, da das (-1)^n nur vor einem Summanden steht:


$$\sum_{n=1}^{\infty} ((-1)^n \frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})\\=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$$


Die Reihe über 1/n^2 konvergiert, ebenso konvergiert die alternierende harmonische Reihe (Begründung über das Leibnitzkriterium, da 1/n eine monotone Nullfolge ist). Also konvergiert auch deine Ausgangsreihe.

Avatar von 37 k

Ich bedanke mich!
Ihre Lösung ist elegant :)


BlackFrost

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