Sind v, w linear abhängig genau dann wenn v_i*w_j=v_j*w_i für alle i, j?

Question

v,w sind elemente eines n dim. Vektorraumes. v_i sind die vektorkomponenten.

Edit1: Zumindest für n=3, V=R^3 ist es wahr, denn die rechte seite ist äquiv zum kreuzprofukt ist null, also fläche des paralelograms von v w aufgespannt ist null, g.d.w. v und w lin abhängig.

Answer 1

Vollständige Induktion über n:

Eine Menge in dem der Nullvektor enthalten ist, ist linear abhängig. Sei deshalb o.B.d.A v,w≠0.

IA: n = 1. Wenn r = -sw/v ist, dann ist rv + sw = 0. Wird s ≠ 0 gewählt, dann bekommt man eine nicht-triviale Linearkombination, die den Nullvektor ergibt. Also sind v,w linear abhängig.

IS: n > 1 und die Behauptung gilt für alle Vektorräume V mit dim V < n. Zu den Gleichungen, die dann laut IV schon gelten, kommen n Gleichungen hinzu:

v₁ w_n = v_n w₁

v₂ w_n = v_n w₂

...

v_n-1 w_n = v_n w_n-1

v_n w_n = v_n w_n

Sei c so dass w_i = c·v_i für alle i=1...(n-1). c existiert nach IV. Zeige oder widerlege, dass w_n = c·v_n sein muss.

Comments

Sorry die Frage war nicht präzis genug, die vektoren müssen nicht gleich sein, reicht auch das ein das vielfachr vom anderen ist. Bzw. ersetze die linke seite der aussage[v]=[w] mit äquivalenzrelation v~w <=> es gibt k so dass  v=k*w

Trotzdem danke!

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Die Frage war präzise genug. Nur, sie unterscheidet sich wesentlich von der Frage, die du eigentlich stellen wolltest.

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Ich habe Frage und Antwort angepasst.