0 Daumen
175 Aufrufe

v,w sind elemente eines n dim. Vektorraumes. v_i sind die vektorkomponenten.

Edit1: Zumindest für n=3, V=R^3 ist es wahr, denn die rechte seite ist äquiv zum kreuzprofukt ist null, also fläche des paralelograms von v w aufgespannt ist null, g.d.w. v und w lin abhängig.

von

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Vollständige Induktion über n:

Eine Menge in dem der Nullvektor enthalten ist, ist linear abhängig. Sei deshalb o.B.d.A v,w≠0.

IA: n = 1. Wenn r = -sw/v ist, dann ist rv + sw = 0. Wird s ≠ 0 gewählt, dann bekommt man eine nicht-triviale Linearkombination, die den Nullvektor ergibt. Also sind v,w linear abhängig.

IS: n > 1 und die Behauptung gilt für alle Vektorräume V mit dim V < n. Zu den Gleichungen, die dann laut IV schon gelten, kommen n Gleichungen hinzu:

v1 wn = vn w1

v2 wn = vn w2

...

vn-1 wn = vn wn-1

vn wn = vn wn

Sei c so dass wi = c·vi für alle i=1...(n-1). c existiert nach IV. Zeige oder widerlege, dass wn = c·vn sein muss.

von 77 k 🚀

Sorry die Frage war nicht präzis genug, die vektoren müssen nicht gleich sein, reicht auch das ein das vielfachr vom anderen ist. Bzw. ersetze die linke seite der aussage[v]=[w] mit äquivalenzrelation v~w <=> es gibt k so dass  v=k*w

Trotzdem danke!

Die Frage war präzise genug. Nur, sie unterscheidet sich wesentlich von der Frage, die du eigentlich stellen wolltest.

Ich habe Frage und Antwort angepasst.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community