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v,w sind elemente eines n dim. Vektorraumes. v_i sind die vektorkomponenten.

Edit1: Zumindest für n=3, V=R^3 ist es wahr, denn die rechte seite ist äquiv zum kreuzprofukt ist null, also fläche des paralelograms von v w aufgespannt ist null, g.d.w. v und w lin abhängig.

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Vollständige Induktion über n:

Eine Menge in dem der Nullvektor enthalten ist, ist linear abhängig. Sei deshalb o.B.d.A v,w≠0.

IA: n = 1. Wenn r = -sw/v ist, dann ist rv + sw = 0. Wird s ≠ 0 gewählt, dann bekommt man eine nicht-triviale Linearkombination, die den Nullvektor ergibt. Also sind v,w linear abhängig.

IS: n > 1 und die Behauptung gilt für alle Vektorräume V mit dim V < n. Zu den Gleichungen, die dann laut IV schon gelten, kommen n Gleichungen hinzu:

v1 wn = vn w1

v2 wn = vn w2

...

vn-1 wn = vn wn-1

vn wn = vn wn

Sei c so dass wi = c·vi für alle i=1...(n-1). c existiert nach IV. Zeige oder widerlege, dass wn = c·vn sein muss.

Avatar von 105 k 🚀

Sorry die Frage war nicht präzis genug, die vektoren müssen nicht gleich sein, reicht auch das ein das vielfachr vom anderen ist. Bzw. ersetze die linke seite der aussage[v]=[w] mit äquivalenzrelation v~w <=> es gibt k so dass  v=k*w

Trotzdem danke!

Die Frage war präzise genug. Nur, sie unterscheidet sich wesentlich von der Frage, die du eigentlich stellen wolltest.

Ich habe Frage und Antwort angepasst.

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