Extremwertaufgabe- summe der Quadrate möglichst klein

Question

Die Aufgabe lautet: Eine Strecke der Länge s ist so in zwei Teile zu teilen, dass die Summe der Quadrate der Längen der beiden Teilstrecken möglichst klein wird. Wie ist die Strecke zu teilen?

Könnte mir jemand helfen?

Danke:)

Answer 1

Hallo jb,

x sei die Teilstrecke. Betrachte die Funktion

f(x) = x² + (s-x)² = 2·x² - 2·s·x + s²     x ∈ ] 0 , s [

Mit Scheitelform der Parabel: 

2 teilweise ausklammern:

f(x) =  2 * [ x² - sx  ]  + s² 

quadratische Ergänzung:

f(x) =  2 * [ x² - sx + (s/2)² - (s/2)² ]  + s²

3. binomische Formel:

f(x) = 2 * [ (x - s/2)²  - s² / 4 ]  +  s²  =  2 * (x - s/2)² - s² / 2 + s²

f(x) =  2 * (x - s/2)² + s² / 2    (Scheitelform)  

f ist eine Parabel mit Scheitelpunkt  S( s/2 | s² / 2 )  

x = s/2    ist  absolute lokale Minimumstelle 

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Oder mit Differenzialrechnung:

f '(x) = 4x - 2s  = 0    ⇔    x = s/2

f "(x) = 4 > 0   →  x = s/2    ist die einzige lokale Minimumstelle 

 wegen lim_x→0 f(x) =  lim_x→s  f(x)  = s²  >  f(s/2)  = 1/2 s² ]

ist  x = s/2  auch absolute Minimumstelle 

Gruß Wolfgang