Extremalprobleme Funktion: Summe von zwei Quadraten soll möglichst klein sein.

Question

Kann mir hier jemand helfen? Mit rechnung bitte

Extremalprobleme Funktion: Summe von zwei Quadraten soll möglichst klein sein. 

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Welche Aufgabe ? 17 a. b. ?

Answer 1

x+y=100   und S =  x² + y²   


also S(x) =   x² + (x-100)²    

 =   x² +    x²  - 200x  + 10000   

=     2x² - 200x  + 10000   


Scheitelpunkt bestimmen

S(x)  = 2 * (  x²  - 100x  + 5000 )    

= 2 * (  x²  - 100x  + 2500   +  2500 ) 

 = 2*  (   (x-50)²    + 2500 )

= 2*(x-50)²    + 5000

Also kleinster Wert bei x=50, dann gibt es  5000.

Das ist der kleinste Wert.   50² + 50² = 5000

Answer 2

die Summanden seien x und y

x + y = 100   →  y = 100 - x

Summe der Quadrate =  s(x,y) = x² + y²

Einsetzen von y:   s(x) = x² + (100 - x)²  =   2·x² - 200·x + 10000

Den minimalen s-Wert dieser nach oben geöffneten Parabel findet man am Scheitelpunkt:

s(x) = 2·x² - 200·x + 10000    muss also auf  Scheitelform  gebracht werden.

             2 teilweise ausklammern:

        = 2 * [ x² - 100x ] +10000 

               quadratisch ergänzen:

        =  2 * [ x² - 100x + 50² - 2500 ] +10000        (hebt sich auf)

         =  2 * [ (x - 50)² - 2500 ] + 10000  

               [...]  ausmultiplizieren:

         =  2 * (x - 50)² - 5000 + 10000  

         =  2 * (x - 50)² + 5000

Der Scheitelpunkt ist  S(50| 5000) 

→  x = 50  →  y = 100 - 50 = 50

Die Zahl 100 muss also in  100 = 50 + 50 zerlegt werden.

Gruß Wolfgang