Unitäre Matrizen, Vektorraum-Isomorphismen, Isometrie

Question

Hallo. Ich habe ein Paar probleme be Folgenden Aufgaben:

1) Ist $A \in \mathbb{C^{nxn}}$ unitär und ist $\lambda \in \mathbb{C}$ ein Eigenwert von A, so ist $|\lambda|=1$ mit dem Hinweis: Egenwert bedeuet, dass es ein $v \in \mathbb{C^{n}}$ \{0} gibt mit $A*v = \lambda*v$

Meine Gedanken dazu: A unitär -> Spalten bilden eine Orthonormalbasis, sind also orthogonal zueinander und normiert und das Transponierte von A ist gleich dem komplex konjugierten Inversen. Ich wetter da steckt auch die Lösung nur sehe ich diese noch nicht. Soweit habe ich versucht $A*v = \lambda*v$ anders aufzuschreiben: $\begin{pmatrix} a_{1,1}*v_{1}+...+a_{1,n}*v_{n} \\ ... \\a_{n,1}*v_{1}+...+a_{n,n}*v_{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda*v_{1}\\ ...\\ \lambda*v_{n}\end{pmatrix}$ woraus ich dann schlussfolgern wollte, dass $a_{i,i}=\lambda, i=1,...,n$ sein muss damit diese Gleichung erfüllt ist. Es erwcheint mir zu unwahrscheinlich, dass es eine Matrix gibt, in der auch andere Werte ausser der Diagonale ungleich 0 sind, die unitär ist, ung glücklicherweise die Einträge hat, dass die Gleichung erfüllt ist. Irgendwie happert es am formalen Aufschreiben, wenn ich mit der Überlegung überhaupt recht habe.

2) $V,W$ unitäre Vektorräume. Zu zeigen: Isometrie ist das gleiche wie Isomorphismus von unitären Vektorräumen.

Isometrie: $f: V \to W, \forall v \in V: ||f(v)||=||v||$

Isomorphismus: $\forall v,u \in V: <u,v>=<f(u),f(v)>$

Hier komme ich überhaupt nicht weiter. Habe etwas umgeschrieben: $||f(v)||=||v|| \Leftrightarrow \sqrt{<f(v),f(v)>}=\sqrt{<v,v>}$ und nun folgt nur Bahnhof in meinem Kopf.

Comments

Bin auch überfordert, hat jemand eine Idee?