Zeigen Sie: 0_(K) ist kein Eigenwert von α ; α ist injektiv ; Det_(α) ≠ 0_(K)

Question

Seien K ein Körper, V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und α ∈ End(V ). 

Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind: 

(i) 0_K ist kein Eigenwert von α. 

(ii) α ist injektiv. 

(iii) Det(α) ≠ 0_K.

Könnt ihr mir Bitte helfen?

Zeigen Sie: 0_(K) ist kein Eigenwert von α ; α ist injektiv ; Det_(α) 6= 0_(K)

Comments

Ich komme mit dieser Aufgabe leider nicht zurecht,  

Ich danke schon mal :) 

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;)

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EDIT: 6= im Original durch ≠ ersetzt ;) 

Schön, dass du nun die Einleitung zu alpha und K angegeben hast. 

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Ein Drittel der Lösung steht da: https://www.mathelounge.de/444174/eigenwert-injektivitat-determinante?show=444192#a444192

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Ist jetzt hier. Wir brauchen es ja nicht mehrfach. 

Answer 1

\(\alpha\) ist eine lineare Abbildung eines endlich-dimensionalen K-Vektorraumes in sich selbst.

Z.B. (i) ⇒ (ii):

Wenn \(0\) kein Eigenwert von \(\alpha\) ist, bedeutet das, es gibt kein \(v\ne0\) mit \(\alpha(v)=0\cdot v=0\). Aus \(\alpha(v_1)=\alpha(v_2)\) folgt \(\alpha(v_1-v_2)=\alpha(v_1)-\alpha(v_2)=0\), also \(v_1-v_2=0\) und \(\alpha\) ist injektiv.