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ich habe folgende Aufgabe zur Determinantenform und benötige etwas Hilfe.

Es sei V ein Vektorraum, b1,...,bn für ein n ∈ N eine Basis von V und x ∈ V ein Vektor in V. Ferner sei D die Determinantenform mit D(b1,...,bn) = 1. Berechnen Sie D(−b1,...,−bn) und D(b1 +x,...,bn +x).

Zur Idee: D ist eine alternierende n-Linearform.

D(−b1,...,−bn) = (-1)n * D(b1,...,bn)  = (-1)n, da D n-linear ist.

Wie kann man aber den zweiten Teil D(b1 +x,...,bn +x) berechnen?

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D(b1 +x,...,bn +x)

= D(b1,b2 +x,...,...,bn +x)   + D(x,b2 +x,...,bn +x)

= D(b1,b2+x,...,...,bn +x) + D(x,b2,...,...,bn +x)   + D(x,x,...,bn +x)

= D(b1,b2+x,...,...,bn +x) + D(x,b2,...,...,bn +x)   denn der letzte ist 0 wegen "alternierend"

vielleicht kommt man so suczessive weiter ??





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