Komplexe Zahlen. ((z+i)/(z-i))^2 = i^{-25}

Question

komme bei folgender Aufgabe nicht weiter (Nullstellen sollen berechnet werden):

Ich multipliziere den Bruch aus, zieh j rüber und stecke dann fest.

bzw. ich weiß nicht wie ich mit j umgehen soll.

Danke für die Hilfe.

Answer 1

Für Nullstellen brauchst du erst mal eine Funktion von z, die aber nicht zu sehen ist. 

Du sollst wohl die Lösungsmenge dieser Gleichung bestimmen. 

j^2 = -1 

und folglich j^4 = 1 

kannst du benutzen und dann wie gewohnt rechnen. 

Ein paar Rechentricks zu komplexen Zahlen zu kennen und zu benutzen schadet aber nichts. 

Kontrollresultat:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=((z%2Bi)%2F(z-i))%5E2+%3D+i%5E(-25) 

Beachte auch die "alternate form" im Link . Die kannst du als Zwischenresultat anstreben. 

Comments

Könntest du das Schritt für Schritt machen? Ich habe bald auch das Thema "Komplexe Zahlen" und würde mich umso mehr dafür interessieren...

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@Namur123: Für diese Aufgabe braucht es nicht mehr als ich gesagt habe. 

Vielleicht noch Potenz- und Bruchrechengesetze. Die kennst du aber schon. 

Schau mal hier ein paar Rechenbeispiele an.

https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Rechenbeispiele

und dann kannst du loslegen. 

Rechne schrittweise so weit, wie du kommst. Dann geb ich dir bei Bedarf nochmals einen Tipp. 

((z+i)/(z-i))^2 = i^{-25}        | i^4 = 1

(z+i)^2/(z-i)^2 = i^{-1}  = 1/i        | * HN (z-i)^2 

i*(z+i)^2 =  (z-i)^2 

i*(z^2 + 2iz - 1) =  (z^2 - 2iz - 1) 

iz^2 - 2z - i = z^2 - 2iz - 1 

0 = z^2 - iz^2 + 2z - 2iz - 1 + i 

0 = (1-i)z^2 +(1-i)*2z + (1-i)*(-1)           |:(1-i) 

0 = z^2 + 2z - 1     | pq-Formel oder quadratische Ergänzung

0 = (z^2 + 2z + 1) - 2 

0 = (z+1)^2 - 2

2 = (z+1)^2 

±√2 = z+1

-1 ± √2 = z 

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um jetzt z.B diese Aufgabe zu lösen, müsste ich genau den Weg gehen wie bei der Divison auf Wikipedia ? 

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Kannst du. Aber: Es ist eine Gleichung mit einem Bruch. Unbekannt ist z.

Du kannst auch Potenzgesetze anwenden und mit dem Hauptnenner (z-i)^2  multiplizieren.