DGL 3 Grades || wie würde die Partikuläre Lösung aussehen

0 Daumen
39 Aufrufe

y'''+3y''+3y'+y  = x+6e^(-x)

___________________

λ^3 + 3λ^2 + 3λ + 1 = 0

(λ+1)^3 = 0

=> λ_(1,2,3) = -1 

y_h = (ax^2+bx+c) e^(-x)

___________________

Wie würde die Berechnung der Partikulären Lösung aussehen? 

MFG

Gefragt 19 Mai von fachidiot

1 Antwort

+1 Punkt

Hallo,

-1 stimmt.

yh=e^(-x)(C1 +C2x +C3x^2)

Bei dem Ansatz für die part. Lösung mußt Du summandweise vorgehen.

Eine nützliche Hilfe:

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

yp1= A+Bx

yp2=Cx^3 *e^(-x)

yp=yp1 +yp2

yp= A+Bx +Cx^3 *e^(-x)

y=yh +yp


Beantwortet 19 Mai von Grosserloewe Experte XLV

y_p:

_______________________________

y =   cx^3e^(-x) + ax + b

y'  = e^(-x) [ae^x -cx^3 +3cx^2]

y'' = e^(-x) [x^2-6x+6] cx

y'''= -c e^(-x) [x^3-9x^2+18x-6]


____________


y'''+3y''+3y'+y=x+6e^(-x)

x+6e^(-x) =e^(-x) [-c(x^3-9x^2+18x-6)] + e^(-x) [3cx(x^2-6x+6)] + e^(-x) [3(ae^x -cx^3 +3cx^2)] + 

e^(-x) [cx^3] + ax + b

= ax + b + e^(-x)[-c(x^3-9x^2+18x-6)+3cx(x^2-6x+6)+3(ae^x -cx^3 +3cx^2)+cx^3]

= ax + b + e^(-x)[3(a*e^(x)+2c)]

= ax + 3a + b + 6ce^(-x)

=> c = 1

a = 1

3a+b = 0 => b = -3

y_p = cx^3 e^(-x) + ax + b

= x^3 e^(-x) + x -3 

_______________________________
y = y_h + y_p   = (ax2+bx+c) e^(-x) +  x^3e^(-x) + x -3  = e^(-x) [ax2+bx+c + x^3+ x -3 =  e^(-x) [x^3+ax2+bx+c+ x -3 
___sieht das alles so richtig aus? 
MFG 

Hallo,

die part. Lösung stimmt.

y= yh+yp

y=e-x(C1 +C2x +C3x2) + x3 e-x + x -3  ->Endlösung

ich habe noch eine andere aufgabe 

y''-2y'+2y = e^(2x) sinx 

würde die partikuläre lösung so aussehen?

e^(2x)[A sin(x)+B cos(x)] ? 

mfg

danke für deine hilfe :)

ja die part. Lösung (Ansatz) stimmt

ok danke :)

wenn es ein anfangswert problem gibt würde ich einfach y= yh+y

ableiten und die werte damit normal berechnen oder? 

(ich muss für das AWP nichts mit y_h y_p speziell machen?)

mfg

Hallo,

wenn es ein AWB ist, setzt Du die AWB 's in die Lösung ein.

ggf, muß Du die Lösung noch ableiten.

Du hast dann in vielen Fällen ein Gleichungsystem von 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten , was Du lösen mußt.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und ohne Registrierung

x
Made by Memelpower
...