Problem der absolut gerechten Verteilung eines Kuchens

Question

Hallo liebe Mathefreunde,

bei der Beschäftigung mit einer Aufgabe zu einer gerechten Verteilung zweier Torten auf 14 Kinder kam mir folgende Frage in den Kopf:

Wenn man eine Sache (z. B. eine Torte) hat und diese unter 2 Personen gerecht aufteilen möchte, gibt es ja eine absolut gerechte Methode: Die erste Person teilt die Sache in zwei Teile, und die zweite Person darf als erstes unter diesen beiden Teilen wählen - hinterher kann sich keiner der beiden beschweren :-)

Gibt es eine Möglichkeit, diese Vorgehensweise auf mehrere Personen zu erweitern?

Freue mich auf Eure Antworten :-)

Answer 1

Hi,

wenn Du das Problem ernst meinst und Du es in die Praxis umzusetzen gedenkst, sowie die Kinder wirklich so kleinlich sind, folgender Vorschlag:


Schneide den/die Kuchen gerecht in entsprechende Teilchen, stülpe überall einen Deckel drüber (oder stell sie in einen anderen Raum und nummerier sie durch). Dann darf jedes Kind sich einen Kuchen raussuchen. Die Reihenfolge des Raussuchens spielt da bzgl. Kuchen ja dann keine Rolle -> gerecht.


Grüße^^

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Ja, ich meine das Problem durchaus ernst :-)

Der Knackpunkt ist doch hierbei die Anweisung:

"Schneide den/die Kuchen gerecht in entsprechende Teilchen."

Wenn ich, wie in der "auslösenden" Aufgabe, 2 Torten und 14 Kinder habe, dann komme ich natürlich auf 1/7 Torte pro Kind, und da werde ich eben mit einem Rundungsfehler konfrontiert.

Ich denke, dass dieses Problem mathematisch gar nicht lösbar ist, und deshalb suchte ich nach einer Lösung "common sense".

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Da passt ja das trotzdem.

Es besteht für kein Kind die Möglichkeit sich vorzudrängeln und so das "größte" Stück zu erwischen, da das völlig unbekannt ist. Sie haben also alle die gleiche Chance.

Und wozu hat man eine Waage? Im Notfall kann man das dann zusammenmanschen.

Wobei ich selbst lieber ein kleineres Stückchen habe und dafür aber ein Stück am Stück :D.

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Gut - begriffen :-)

Das Verdecken der Teilchen - bzw. Positionieren in einem anderen Raum - ist wohl des Pudels Kern.

Einmal mehr: Danke Dir!

Answer 2

Also ich seh da jetzt kein Problem das Prinzip auf mehr als zwei Personen zu erweitern. Wenn man davon ausgeht, dass alle Beteiligten möglichst viel haben wollen und keine geheimen Abkommen oder ähnliches existieren, dann sollte es reichen, dass derjenige, der als Letzter nimmt, auch anschneidet. Sollte er unterschiedlich große Stücke machen, dann kann er sicher sein das Kleinste zu bekommen und wird daher tunlichst darauf achten alle Kuchenstücke gleich groß zu machen. Nur so wird sein Anteil am Kuchen maximal.

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Dieser Ansatz gefällt mir sehr gut!

Dadurch fällt diese vorher genannte "Zufallsgeschichte" mit Deckeln oder Portionen im anderen Raum weg.

Werde ich mir für die nächste Geburtstagsfeier merken :-D

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Naja, man bedenke, dass hier nur die erste und letzte Person berücksichtigt werden. Für diese läuft alles fair ab. Die "Zwischenpersonen" werden aber unfair behandelt, immerhin können sie maximal das zweitgrößte Stückchen bekommen!

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Das stimmt schon, aber die letzte Person wird sich natürlich bemühen, alle Stückchen gleich groß zu machen - insofern ...

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Tut sie das nicht ohnehin? :)

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Sure, insofern sehe ich keine Probleme für die "Zwischenpersonen" :-)

PS: Erstaunlich, dass solch eine triviale Frage ("wenn Du das Problem ernst meinst ...") so viel Feedback erhält :-D

Answer 3

Mit dieser sehr guten Fragen hast du mich an das Buch Stalins Kriegsgefangene (S.110-112) erinnert. Das Buch ist nichts für schwache Nerven und ich musst es schon ein paar Mal zur Seite legen... Dort ging es u.a. um die tägliche Aufteilung eines Stückes Butter (2cm*2cm*1cm) auf 20 Männer.

"Es war ein kleiner Klumpen auf einem dünnen Holzbrett, der jetzt vor aller Augen wieder auf zwanzig Teile aufgeteilt werden mußte. [...] Dem einen war die Butter nicht gleichmäßig stark flach gestrichen und eine Seite höher als die andere. Dem anderen war eine Ecke dicker als die gegenüberliegende und die markierten Quadrate ungleichmäßig, [...] Ich mußte die ganze Prozedur (mehrmals) von vorne beginnen."

Diese Männer waren unterernährt und sind durch damit einhergehende Krankheiten zu Zigtausenden (Schätzungen gibt es im Buch) elendig verstorben.

Vielleicht sollte man den Kindern erzählen, dass es vor nicht allzu langer Zeit Zeiten gab, in denen manche Menschen für ein Stück Brot alles getan hätten, und dass diese Menschen jahrelang keinen Kuchen zu Gesicht bekamen.

So relativiert sich vielleicht der Streit um die Größe des eigenen Kuchenstücks.

PS: Wir Nicht-Kriegsgeneration haben - Gott sei dank - nicht solch ein Leid erleben müssen. Jedoch ist es gut, darüber Bescheid zu wissen, um die Qualität des heutigen Lebens wirklich schätzen zu können.

Comments

Dein Beitrag ist sehr bemerkenswert und regt zum Nachdenken an. Ich stimme Dir zu, dass es den Leuten (in unserer Hemisphäre!) mit Sicherheit heute viel besser geht als in diesen dunklen, menschenverachtenden und grausamen Zeiten.

Allerdings glaube ich auch, dass solche Überlegungen den Rahmen eines Mathe-Forums deutlich sprengen.

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Damit würde man vielleicht ein falsches Schuldbewusstsein bei den Kindern schaffen. Sie sollen ja nicht denken, dass ihnen der Kuchen nicht zusteht. Manchmal ist es vielleicht besser, wenn man als Erwachsener einfach durchgreift, den Kuchen selber teilt und die Kinder lernen lässt, mit minimalen Schwankungen in ihrem Schicksal umzugehen. Kriegsgeschichten würde ich ihnen nur soviel zumuten, wie sie wissen wollen.

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Das erinnert mich an einen Ausspruch eines verhassten, weil zu strengen Latein-Lehrers von mir, der sinngemäß etwa folgendes sagte:

Gerecht ist nicht '"Allen das Gleiche", sondern "Jedem das Seine".

Wie will man so etwas aber umsetzen?

Ich denke, das würde zu einer endlosen Diskussion führen, die alle Bereiche der Philosophie, Ethik usw. betrifft ...

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Bis dat, qui cito dat - Doppelt gibt, wer schnell gibt - Ein Motto dieses Mathe-Forums.

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@Mister: Mit dem Beitrag wollte ich nur ein wenig zum Nachdenken anregen, bloß nicht Kindern Kriegsgeschichten erzählen! Aber man kann ihnen sagen, dass es Menschen gibt, die keinen Kuchen haben.

@Brucybabe: Genau, wie gesagt, für den Abend etwas zum Nachdenken. Und richtig, solche Diskussionen gehören in den Chat: https://www.mathelounge.de/chat und nicht ins Matheforum. Dies war mal eine (seltene) Ausnahme meinerseits.

Answer 4

das Geheimnis besteht darin, mehr Kuchen zu machen, als alle essen können.

MfG

Mister