Potenzreihen; Konvergenzradius? mein Ansatz. einmal drüber schauen! Koeffizienten (8k * (23)k) / ((1+k) * (25)?

Question

mein Ansatz. einmal drüber schauen! 

Geben SIe zu den folgenden Potenzreihen bzgl. der allg. Form  $$\sum _{ k=0 }^{ \infty }{ { a }_{ k\quad }\cdot } \left( x-{ x }_{ 0 } \right) ^{ k }$$

 jeweils die Koeffizienten a_k , den Entwicklungspunkt x₀ und den zugehörigen Konvergenzradius ρ(rho) an:

zu 3)  $$\sum _{ l=4 }^{ \infty }{ \frac { { 8 }^{ l } }{ l+1 } } \left( 2x+6 \right) ^{ 3l-5 }\quad =\quad \sum _{ l=4 }^{ \infty }{ { 8 }^{ l } } \cdot \quad \frac { 1 }{ l+1 } \quad \cdot \quad { 2 }^{ 3l-5 }\quad \cdot \quad \left( x+6 \right) ^{ 3l-5 }\\ \\ \Longrightarrow \quad { x }_{ 0 }=-6\quad ;\quad { a }_{ k }=\quad { 8 }^{ l }\quad \cdot \quad \frac { 1 }{ l+1 } \quad \cdot \quad { 2 }^{ 3l-5\quad }\\ \\ { q }_{ 1 }=\frac { 1 }{ \lim _{ l\rightarrow \infty }{ \sqrt [ l ]{ \left| { 8 }^{ l } \right| } } } \quad =\quad \frac { 1 }{ \lim _{ l\rightarrow \infty }{ \quad 8 } } \quad =\quad \frac { 1 }{ 8 } \\ \\ { q }_{ 2 }=\left| \frac { \frac { 1 }{ l+1 } \quad \cdot \quad { 2 }^{ 3l-5 } }{ \frac { 1 }{ l+2 } \quad \cdot \quad { 2 }^{ 3l-5 } } \right| =\quad \lim _{ l\rightarrow \infty }{ \frac { l+2 }{ l+1 } } \cdot \frac { { 2 }^{ 3l-5 } }{ { 2 }^{ 3l--4 } } =\quad 1\cdot \frac { 1 }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 } \\ \\ { q }_{ ges }=\quad \frac { 1 }{ 8 } \cdot \frac { 1 }{ 2 } =\frac { 1 }{ 16 } \\ \\ \rho =\sqrt [ m ]{ \frac { 1 }{ q } } =\sqrt [ 3 ]{ \frac { 1 }{ \frac { 1 }{ 16 } } } =\sqrt [ 3 ]{ 16 } \\ \\ \Longrightarrow \quad Konvergenzintervall:\quad \forall \quad x\quad \in \quad \left( -6-\sqrt [ 3 ]{ 16 } ,\quad -6+\sqrt [ 3 ]{ 16 } \right)$$

Stimmt das so ?

Potenzreihen; Konvergenzradius? mein Ansatz. einmal drüber schauen!  Koeffizienten (8^k * (2³)^k) / ((1+k) * (2⁵)  ? 

Comments

Beim Entwicklungspunkt musst du doch schauen, dass es in der Klammer 0 gibt (oder nicht?)

Also hier 2x_(0) + 6 = 0 ==> x_(0) = -3

Dann: Warum lässt du 1/(k+1) einfach weg?

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1/(k+1) wo soll ich das vergessen haben ?

die eigentliche frage hier, darf man einzelne Faktoren mit vers. Kriterien ''konvergieren'' lassen?

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" die eigentliche frage hier, darf man einzelne Faktoren mit vers. Kriterien ''konvergieren'' lassen? "

Ich bezweifle das, d.h. ich habe das so vermutlich noch nie gesehen.

Du hast nach Potenzgesetzen

 ak = (8^k * (2³)^k) / ((1+k) * (2⁵)

 1/2⁵ kannst du vor die Summe schreiben und dann den Konvergenzradius zu den Koeffizienten

 bk = (8^k * (2³)^k) / ((1+k))

auszurechnen versuchen.

 

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warte mal ich schreibs eben auf

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$$\sum _{ l=4 }^{ \infty }{ \frac { { 8 }^{ l } }{ l+1 } } \cdot \left( 2x+6 \right) ^{ 3l-5 }\quad \sum _{ l=4 }^{ \infty }{ { 8 }^{ l } } \cdot \quad \frac { 1 }{ (l+1) } \cdot \left( 2x+6 \right) ^{ 3l-5 }\\ \\ \longrightarrow { x }_{ 0 }=-3\quad \quad \quad ;\quad { a }_{ k }={ 8 }^{ l }\cdot \frac { 1 }{ (l+1) } \\ \\ { q }_{ 1 }=\frac { 1 }{ \lim _{ l\rightarrow \infty }{ \left| \sqrt [ l ]{ { 8 }^{ l } } \right| } } =\quad \frac { 1 }{ 8 } \quad \quad \quad \quad \quad { q }_{ 2 }=\lim _{ l\rightarrow \infty }{ \left| \frac { \frac { 1 }{ \left( l+1 \right) } }{ \frac { 1 }{ \left( l+2 \right) } } \right| } =\lim _{ l\rightarrow \infty }{ \left( \frac { l+2 }{ l+1 } \right) } =1\\ \\ { q }_{ ges }=\quad \frac { 1 }{ 8 } \\ \\ \\ \\ \rho =\sqrt [ m ]{ \frac { 1 }{ q } } =\sqrt [ 3 ]{ 8 } =2\quad \quad \Longrightarrow Konvergenzintervall:\quad \forall \quad x\quad \in \quad \left( -5;-1 \right) .\\ \\ \\ Passt\quad zumindest\quad gut\quad von\quad den\quad zahlen ... .\\$$

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Du hattest doch in deiner ersten Rechnung zuerst in der Klammer 2 ausgeklammert und danach 2^3k-5 vor der Klammer. (x+3)^3k-5 gehabt.

Das fand ich eigentlich schon gut.

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und wie beurteilst du das jz ?

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Jetzt hast du doch (2³)^k verloren. Wenn ein k dabei ist, darf das nicht vor die Summe.

Beachte: Ich schreibe immer k statt l (weil l schnell mit 1 verwechselt wird). Du solltest dich auch an eine Variante halten. Also nicht ak = irgendetwas mit l.

Answer 1

Hi, ich habe nicht alles komplett durchgelesen, aber im Prinzip kannst du das so machen, die Folge zu faktorisieren.
Denn konvergiert eine Folge (a_(n)) gegen a und konvergiert eine Folge (b_(n)) gegen b, dann konvergiert die Folge (a_(n) b_(n)) gegen ab.
Du hast aber bei deiner Rechnung einiges weggelassen, den kompletten Klammerausdruck mit der Potenz, das geht nicht.
Es muss der ganze Term in der Summe als ein Folgenglied a_(n) betrachtet werden,
also a_(n) = 8ⁿ/(n+1)*(2*x+6)^3*n-5.
Ich habe es z.B. so gelöst: |a_(n)/a_(n+1)| = |1/8 * 1/(2x + 6)³ * (n+2)/(n+1)|
Für n gegen Unendlich gibt das den von x abhängigen Konvergenzradius
r = 1/8*1/|(2*x + 6)³|
Dieser muss bei diesem Typ Potenzreihe < 1 sein, es muss also 1/8*1/|(2*x + 6)³| < 1 gelten.
Hier lässt sich noch die 2³ ausklammern, was zum Ausdruck r = 1/64*1/|(x+3)³| führt.
Die Auflösung der Ungleichung 1/64*1/|(x+3)³| < 1 ergibt x_(1) > -3,25 und x_(2) < -2,75.
In dem Intervall (-3,25 -2,75) ist die Reihe konvergent.