Potenzreihen; Koeffizienten, Entwicklungspunkt x_0 und Konvergenzradius(rho) bestimmen.

Question

Geben Sie zuden folgenden Potenzreihen bzgl. der allg. Form:  $$\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { a }_{ k } } (x-{ x }_{ 0 })^{ k }$$ jeweils die Koeffizienten $${ a }_{ k }$$ , den Entwicklungspunkt $${ x }_{ 0 }$$ und den zugehörigen Konvergenzradius $$\rho$$ an:

(1)   $$x+\frac { (3-x)^{ 3 } }{ { 2 }^{ 2 } } +\frac { (3-x)^{ 5 } }{ { 3 }^{ 3 } } +\frac { (3-x)^{ 7 } }{ { 4 }^{ 4 } } +...$$

(2)   $$\frac { 1 }{ 3! } \cdot { 3 }^{ 3 }\cdot (\frac { x }{ 2 } -4)^{ 3 }+\frac { 1 }{ 3! } \cdot { 4 }^{ 4 }\cdot (\frac { x }{ 2 } -4)^{ 4 }+\frac { 1 }{ 3! } \cdot { 5 }^{ 5 }\cdot (\frac { x }{ 2 } -4)^{ 5 }+...$$

(3) $$\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ \frac { 8^{ k } }{ k+1 } \cdot (2x+6)^{ 3k-5 } } $$

Comments

(a)  $$\frac { 3 }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { (3-x)^{ 2k-1 } }{ { k }^{ k } }  } \quad \quad \Longrightarrow \quad \quad { \quad x }_{ 0 }=\quad 3\quad \quad \quad \wedge \quad \quad { a }_{ k }=\frac { 1 }{ { k }^{ k } } =\left( \frac { 1 }{ k }  \right) ^{ k\quad  }=\quad { k }^{ -k }\\ \\ \\ q=\quad \frac { 1 }{ \lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \sqrt [ k ]{ \left( \frac { 1 }{ k }  \right) ^{ k } }  }  } =\quad \lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \frac { 1 }{ \left( \frac { 1 }{ k }  \right)  }  } =\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \quad k } \quad ;k\rightarrow \infty \\ \\ \Longrightarrow \quad Die\quad Potenzreihe\quad konvergiert\quad beständig;\quad \forall \quad x\quad \in { \quad R }$$

Bitte um Korrekturen/Hilfe.

danke im Voraus. ^^

---

(b)    $$\frac { 1 }{ 6 } +\sum _{ k=3 }^{ \infty  }{ { (k) }^{ k } } \cdot \quad \left( \frac { x }{ 2 } -4 \right) ^{ k }\quad \quad \Longrightarrow \quad \quad { \quad x }_{ 0 }=\quad 4\quad \quad \quad \wedge \quad \quad { a }_{ k }=\left( { k } \right) ^{ k\quad  }\cdot \quad \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right) ^{ k }\cdot \quad (x-4)^{ k }=\left( \frac { k }{ 2 }  \right) ^{ k\quad  }\cdot \quad (x-4)^{ k }\\ \\ \\ q=\quad \frac { 1 }{ \lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \sqrt [ k ]{ \left( \frac { k }{ 2 }  \right) ^{ k } }  }  } =\quad \lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \frac { 1 }{ \left( \frac { k }{ 2 }  \right)  }  } =\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \quad  } \frac { 2 }{ k } \quad =\quad 0\\ \\ \Longrightarrow \quad Die\quad Potenzreihe\quad konvergiert\quad für\quad { x }_{ 0 }=4.$$

auch hier mal nachsehen :)

---

(c) $$\sum _{ k=4 }^{ \infty  }{ \frac { 8^{ l } }{ l+1 }  } \cdot \quad \left( 2x+6 \right) ^{ 3l-5 }\quad =\quad \sum _{ l=4 }^{ \infty  }{ \frac { { 8 }^{ l } }{ l+1 }  } \cdot \quad { 2 }^{ 3l-5 }\quad \cdot \quad (x+6)^{ 3l-5 }\quad \Longrightarrow \quad { x }_{ 0 }=-6\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad { a }_{ k }=\quad \frac { { 8 }^{ l } }{ l+1 } \cdot \quad { 2 }^{ 3l-5 }\\ \\ { q }_{ 1 }=\frac { 1 }{ \lim _{ l\rightarrow \infty  }{ \sqrt [ l ]{ { 8 }^{ l } }  }  } =\frac { 1 }{ 8 } \quad \quad ,\quad \quad { q }_{ 2 }=\quad \lim _{ l\rightarrow \infty  }{ \left| \frac { \frac { 1 }{ l+1 } \quad \cdot \quad { 2 }^{ 3l-5 }\quad \quad  }{ \frac { 1 }{ l+2 } \quad \cdot \quad { 2 }^{ 3l-4 } }  \right|  } =\lim _{ l\rightarrow \infty  }{ \frac { l+2 }{ l+1 }  } \cdot \quad \frac { { 2 }^{ 3l-5 } }{ { 2 }^{ 3l-4 } } =\quad 1\cdot \quad \frac { 1 }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 } \quad \quad \Longrightarrow { q }_{ ges }=\quad \frac { 1 }{ 8 } \cdot \frac { 1 }{ 2 } =\frac { 1 }{ 16 } \\ \\ \rho =\quad \sqrt [ 3 ]{ 16 } \quad \\ \\ \Longrightarrow Konvergenzintervall:\quad \forall \quad x\in \quad ]-6-\sqrt [ 3 ]{ 16 } ;-6+\sqrt [ 3 ]{ 16 } [$$

auch hier und danke !!!!!