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Geben Sie zuden folgenden Potenzreihen bzgl. der allg. Form:  k=0ak(xx0)k\sum _{ k=0 }^{ \infty }{ { a }_{ k } } (x-{ x }_{ 0 })^{ k } jeweils die Koeffizienten ak{ a }_{ k } , den Entwicklungspunkt x0{ x }_{ 0 } und den zugehörigen Konvergenzradius ρ\rho an:


(1)   x+(3x)322+(3x)533+(3x)744+...x+\frac { (3-x)^{ 3 } }{ { 2 }^{ 2 } } +\frac { (3-x)^{ 5 } }{ { 3 }^{ 3 } } +\frac { (3-x)^{ 7 } }{ { 4 }^{ 4 } } +...



(2)   13!33(x24)3+13!44(x24)4+13!55(x24)5+...\frac { 1 }{ 3! } \cdot { 3 }^{ 3 }\cdot (\frac { x }{ 2 } -4)^{ 3 }+\frac { 1 }{ 3! } \cdot { 4 }^{ 4 }\cdot (\frac { x }{ 2 } -4)^{ 4 }+\frac { 1 }{ 3! } \cdot { 5 }^{ 5 }\cdot (\frac { x }{ 2 } -4)^{ 5 }+...



(3) k=08kk+1(2x+6)3k5\sum _{ k=0 }^{ \infty }{ \frac { 8^{ k } }{ k+1 } \cdot (2x+6)^{ 3k-5 } }

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(a)  32+k=1(3x)2k1kkx0=3ak=1kk=(1k)k=kkq=1limk(1k)kk=limk1(1k)=limkk;kDiePotenzreihekonvergiertbesta¨ndig;xR\frac { 3 }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ \frac { (3-x)^{ 2k-1 } }{ { k }^{ k } } } \quad \quad \Longrightarrow \quad \quad { \quad x }_{ 0 }=\quad 3\quad \quad \quad \wedge \quad \quad { a }_{ k }=\frac { 1 }{ { k }^{ k } } =\left( \frac { 1 }{ k } \right) ^{ k\quad }=\quad { k }^{ -k }\\ \\ \\ q=\quad \frac { 1 }{ \lim _{ k\rightarrow \infty }{ \sqrt [ k ]{ \left( \frac { 1 }{ k } \right) ^{ k } } } } =\quad \lim _{ k\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ \left( \frac { 1 }{ k } \right) } } =\lim _{ k\rightarrow \infty }{ \quad k } \quad ;k\rightarrow \infty \\ \\ \Longrightarrow \quad Die\quad Potenzreihe\quad konvergiert\quad beständig;\quad \forall \quad x\quad \in { \quad R }



Bitte um Korrekturen/Hilfe.


danke im Voraus. ^^

(b)    16+k=3(k)k(x24)kx0=4ak=(k)k(12)k(x4)k=(k2)k(x4)kq=1limk(k2)kk=limk1(k2)=limk2k=0DiePotenzreihekonvergiertfu¨rx0=4.\frac { 1 }{ 6 } +\sum _{ k=3 }^{ \infty }{ { (k) }^{ k } } \cdot \quad \left( \frac { x }{ 2 } -4 \right) ^{ k }\quad \quad \Longrightarrow \quad \quad { \quad x }_{ 0 }=\quad 4\quad \quad \quad \wedge \quad \quad { a }_{ k }=\left( { k } \right) ^{ k\quad }\cdot \quad \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ k }\cdot \quad (x-4)^{ k }=\left( \frac { k }{ 2 } \right) ^{ k\quad }\cdot \quad (x-4)^{ k }\\ \\ \\ q=\quad \frac { 1 }{ \lim _{ k\rightarrow \infty }{ \sqrt [ k ]{ \left( \frac { k }{ 2 } \right) ^{ k } } } } =\quad \lim _{ k\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ \left( \frac { k }{ 2 } \right) } } =\lim _{ k\rightarrow \infty }{ \quad } \frac { 2 }{ k } \quad =\quad 0\\ \\ \Longrightarrow \quad Die\quad Potenzreihe\quad konvergiert\quad für\quad { x }_{ 0 }=4.

auch hier mal nachsehen :)

(c) k=48ll+1(2x+6)3l5=l=48ll+123l5(x+6)3l5x0=6ak=8ll+123l5q1=1liml8ll=18,q2=liml1l+123l51l+223l4=limll+2l+123l523l4=112=12qges=1812=116ρ=163Konvergenzintervall : x]6163;6+163[\sum _{ k=4 }^{ \infty }{ \frac { 8^{ l } }{ l+1 } } \cdot \quad \left( 2x+6 \right) ^{ 3l-5 }\quad =\quad \sum _{ l=4 }^{ \infty }{ \frac { { 8 }^{ l } }{ l+1 } } \cdot \quad { 2 }^{ 3l-5 }\quad \cdot \quad (x+6)^{ 3l-5 }\quad \Longrightarrow \quad { x }_{ 0 }=-6\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad { a }_{ k }=\quad \frac { { 8 }^{ l } }{ l+1 } \cdot \quad { 2 }^{ 3l-5 }\\ \\ { q }_{ 1 }=\frac { 1 }{ \lim _{ l\rightarrow \infty }{ \sqrt [ l ]{ { 8 }^{ l } } } } =\frac { 1 }{ 8 } \quad \quad ,\quad \quad { q }_{ 2 }=\quad \lim _{ l\rightarrow \infty }{ \left| \frac { \frac { 1 }{ l+1 } \quad \cdot \quad { 2 }^{ 3l-5 }\quad \quad }{ \frac { 1 }{ l+2 } \quad \cdot \quad { 2 }^{ 3l-4 } } \right| } =\lim _{ l\rightarrow \infty }{ \frac { l+2 }{ l+1 } } \cdot \quad \frac { { 2 }^{ 3l-5 } }{ { 2 }^{ 3l-4 } } =\quad 1\cdot \quad \frac { 1 }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 } \quad \quad \Longrightarrow { q }_{ ges }=\quad \frac { 1 }{ 8 } \cdot \frac { 1 }{ 2 } =\frac { 1 }{ 16 } \\ \\ \rho =\quad \sqrt [ 3 ]{ 16 } \quad \\ \\ \Longrightarrow Konvergenzintervall:\quad \forall \quad x\in \quad ]-6-\sqrt [ 3 ]{ 16 } ;-6+\sqrt [ 3 ]{ 16 } [


auch hier und danke !!!!!

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