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Geben Sie zuden folgenden Potenzreihen bzgl. der allg. Form:  $$\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { a }_{ k } } (x-{ x }_{ 0 })^{ k }$$ jeweils die Koeffizienten $${ a }_{ k }$$ , den Entwicklungspunkt $${ x }_{ 0 }$$ und den zugehörigen Konvergenzradius $$\rho$$ an:


(1)   $$x+\frac { (3-x)^{ 3 } }{ { 2 }^{ 2 } } +\frac { (3-x)^{ 5 } }{ { 3 }^{ 3 } } +\frac { (3-x)^{ 7 } }{ { 4 }^{ 4 } } +...$$



(2)   $$\frac { 1 }{ 3! } \cdot { 3 }^{ 3 }\cdot (\frac { x }{ 2 } -4)^{ 3 }+\frac { 1 }{ 3! } \cdot { 4 }^{ 4 }\cdot (\frac { x }{ 2 } -4)^{ 4 }+\frac { 1 }{ 3! } \cdot { 5 }^{ 5 }\cdot (\frac { x }{ 2 } -4)^{ 5 }+...$$



(3) $$\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ \frac { 8^{ k } }{ k+1 } \cdot (2x+6)^{ 3k-5 } } $$

von

(a)  $$\frac { 3 }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { (3-x)^{ 2k-1 } }{ { k }^{ k } }  } \quad \quad \Longrightarrow \quad \quad { \quad x }_{ 0 }=\quad 3\quad \quad \quad \wedge \quad \quad { a }_{ k }=\frac { 1 }{ { k }^{ k } } =\left( \frac { 1 }{ k }  \right) ^{ k\quad  }=\quad { k }^{ -k }\\ \\ \\ q=\quad \frac { 1 }{ \lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \sqrt [ k ]{ \left( \frac { 1 }{ k }  \right) ^{ k } }  }  } =\quad \lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \frac { 1 }{ \left( \frac { 1 }{ k }  \right)  }  } =\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \quad k } \quad ;k\rightarrow \infty \\ \\ \Longrightarrow \quad Die\quad Potenzreihe\quad konvergiert\quad beständig;\quad \forall \quad x\quad \in { \quad R }$$



Bitte um Korrekturen/Hilfe.


danke im Voraus. ^^

(b)    $$\frac { 1 }{ 6 } +\sum _{ k=3 }^{ \infty  }{ { (k) }^{ k } } \cdot \quad \left( \frac { x }{ 2 } -4 \right) ^{ k }\quad \quad \Longrightarrow \quad \quad { \quad x }_{ 0 }=\quad 4\quad \quad \quad \wedge \quad \quad { a }_{ k }=\left( { k } \right) ^{ k\quad  }\cdot \quad \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right) ^{ k }\cdot \quad (x-4)^{ k }=\left( \frac { k }{ 2 }  \right) ^{ k\quad  }\cdot \quad (x-4)^{ k }\\ \\ \\ q=\quad \frac { 1 }{ \lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \sqrt [ k ]{ \left( \frac { k }{ 2 }  \right) ^{ k } }  }  } =\quad \lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \frac { 1 }{ \left( \frac { k }{ 2 }  \right)  }  } =\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \quad  } \frac { 2 }{ k } \quad =\quad 0\\ \\ \Longrightarrow \quad Die\quad Potenzreihe\quad konvergiert\quad für\quad { x }_{ 0 }=4.$$

auch hier mal nachsehen :)

(c) $$\sum _{ k=4 }^{ \infty  }{ \frac { 8^{ l } }{ l+1 }  } \cdot \quad \left( 2x+6 \right) ^{ 3l-5 }\quad =\quad \sum _{ l=4 }^{ \infty  }{ \frac { { 8 }^{ l } }{ l+1 }  } \cdot \quad { 2 }^{ 3l-5 }\quad \cdot \quad (x+6)^{ 3l-5 }\quad \Longrightarrow \quad { x }_{ 0 }=-6\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad { a }_{ k }=\quad \frac { { 8 }^{ l } }{ l+1 } \cdot \quad { 2 }^{ 3l-5 }\\ \\ { q }_{ 1 }=\frac { 1 }{ \lim _{ l\rightarrow \infty  }{ \sqrt [ l ]{ { 8 }^{ l } }  }  } =\frac { 1 }{ 8 } \quad \quad ,\quad \quad { q }_{ 2 }=\quad \lim _{ l\rightarrow \infty  }{ \left| \frac { \frac { 1 }{ l+1 } \quad \cdot \quad { 2 }^{ 3l-5 }\quad \quad  }{ \frac { 1 }{ l+2 } \quad \cdot \quad { 2 }^{ 3l-4 } }  \right|  } =\lim _{ l\rightarrow \infty  }{ \frac { l+2 }{ l+1 }  } \cdot \quad \frac { { 2 }^{ 3l-5 } }{ { 2 }^{ 3l-4 } } =\quad 1\cdot \quad \frac { 1 }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 } \quad \quad \Longrightarrow { q }_{ ges }=\quad \frac { 1 }{ 8 } \cdot \frac { 1 }{ 2 } =\frac { 1 }{ 16 } \\ \\ \rho =\quad \sqrt [ 3 ]{ 16 } \quad \\ \\ \Longrightarrow Konvergenzintervall:\quad \forall \quad x\in \quad ]-6-\sqrt [ 3 ]{ 16 } ;-6+\sqrt [ 3 ]{ 16 } [$$


auch hier und danke !!!!!

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