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Wie berechnet man die Masse eines Zylinders m=∫ρ(x)dV=2π⋅h∫ρ(x)xdx, dessen Rotationsachse die y-Achse ist (Radius 3.5 Höhe 3.5 ) und dessen Dichte vom Abstand von der Rotationsachse abhängt: ρ(x)=1+3x . Ich soll die mittlere Dichte bestimmen, indem ich die Masse durch das Zylindervolumen teile.

Also Grundsätzlich gilt ja, dass Dichte = Masse / Volumen ist.

Berechnung Volumen:

?

Berechnung Masse:

m=2π⋅h∫ρ(x)xdx

oder

m=∫ρ(x)dV

Berechnung mittlere Dichte:

ρMittel=1/(b-a)∫f(x)dx


Bei der Berechnung der Masse habe ich versucht, folgendermaßen vorzugehen:

m=2π×h03,5 (1+3x) dx

m=2π×3,5×[x+(3/2)x2] (Grenze 0 bis 3,5)

m=481,05637...

Aber schon die Masse habe ich somit falsch berechnet. Die richtige Lösung für die Masse ist 1077,5663 und für die mittlere Dichte ρave ist 8.


Wäre cool, wenn ihr mir hier helfen könntet, auf die Lösungen zu kommen.

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Volumen

r²*pi*h = 3.5^2*pi*3.5 = 134,696 oder wenn ihr das über die Volumenformel
für Rotationskörper lösen müsst:

g(y) = r, (g(y))^2 = r^2 =  3.5^2
V_(y) = pi*Integral((g(y))^2 dy)
V_(y) = pi*Integral(r^2 dy)
V_(y) = pi*3.5^2*h in den Grenzen von h=3.5 bis 0
V_(y) = pi*3.5^2*3.5 = 134,696

Masse

m = 2*pi*h*Integral((1+3x)xdx)
m = 2*pi*h*Integral((x+3x²)dx)
m = 2*pi*h*(x²/2 + x³)

Nach dem Einsetzen der Grenzen von 3.5 bis 0 ergibt das die Masse
m =  1077,566

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