Beweisen oder widerlegen: a) Sind f und g surjektiv (bzw. injektiv), so ist g ◦ f surjektiv (bzw. injektiv).

Question

Kann mir das jemand erklären und vorrechnen, verstehe nicht wie ich es beweisen bzw. widerlegen soll?!

Seien A, B und C Mengen und f : A → B und g : B → C Abbildungen.

Beweisen Sie:

a) Sind f und g surjektiv (bzw. injektiv), so ist g ◦ f surjektiv (bzw. injektiv).

 b) Ist g ◦ f surjektiv (bzw. injektiv), so ist g surjektiv (bzw. f injektiv).

c) Ist g ◦ f injektiv und f surjektiv, so ist g injektiv.

d) Sei A = C. Konstruieren Sie ein Beispiel, in dem g ◦ f bijektiv ist, aber f nicht surjektiv und g nicht injektiv ist.

Ich bedanke mich im Voraus :)

Answer 1

z.B. so :

a) (mit surjektiv )
seien f und g surjektiv, dann auch gof ;

denn wenn z aus C ist, dann gibt es wegen der

Surjektivität von g ein y aus B mit  g(y) = z.

Da y aus B gibt es wegen der Surjektivität von f  ein x aus A mit

f(x) = y und es ist dann

(gof)(x) = g( f(x) ) = g(y) = z .

Also gibt es zu jedem z aus C ein x aus A mit (gof)(x) = z.