Taylorreihe zum Integral sin(x) aufstellen

Question

Hi,

ich soll zu $$ \int _{ 0 }^{ 1 }{ sin(x) }  $$ eine Taylorreihe aufstellen.

Allgemein gilt ja:

$$ f\left( x \right) +\frac { f^{ 1 }\left( x \right)  }{ 1! } (x-{ x }_{ 0 })+\frac { f^{ 2 }\left( x \right)  }{ 2! } (x-{ x }_{ 0 })+... $$

wie verhält sich das dann mit dem Integral?

Ist es

f(x) = Integral (sin(x))

g(x) = sin(x)

sodass dann:

$$ f\left( x \right) +\frac { g\left( x \right)  }{ 1! } (x-{ x }_{ 0 })+\frac { g^{ 1 }\left( x \right)  }{ 2! } (x-{ x }_{ 0 })+... $$

Danke für eure Antworten!

Comments

\(\int_0^1\sin x\,dx\) ist eine feste Zahl. Da kann man keine besonders interessante Taylorreihe mehr draus machen, ausser eben diese Zahl als triviale Taylorreihe stehen lassen. Vielleicht verstehst Du erstmal richtig, was wirklich gefragt ist, und formulierst die Frage dann neu.

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Es ist doch möglich ein Integral durch eine Potenzreihenentwicklung des Integranden zu berechnen? Oder irre ich mich?

In meinem Fall wäre es dann eine Mac Laurinsche

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Wenn Du ein bestimmtes Integral durch eine Potenzreihenentwicklung des Integranden berechnen willst, warum schreibst Du dann Absurditaeten in den Betreff? Der erste Schritt beim Loesen einer Aufgabe besteht immer darin, sie so gut verstanden zu haben, dass man sie unfallfrei wiedergeben kann.

In eine Reihe zu entwickeln ist also der Integrand. Und wenn Du das hast, integrierst Du die Reihe gliedweise. So geht die Aufgabe.

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Ja verstanden sollte ich es haben, nur wollte ich den Titel so klein wie möglich halten.

Aber dann würde ich einfach die Funktion im Integral nehmen, die Potenzreihe wie üblich entwickeln und dann alles integrieren?

Answer 1

Hi,

es gilt $$ \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{ x^{2n+1} }{ (2n+1)! } $$ und $$ \cos(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}   $$

Also $$ \int_0^1 \sin(x) dx = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+2}} {2n+2)!} \Bigg|_{x=0}^{x=1} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{1}{(2n+2)!} = 1 - \cos(1) $$