Gauß-Algorithmus Matrix LGS

Question

wan benutz man Parameter mit dem Gauß-Algorithmus, wenn die Matrix in der Treppenstufenform ist.

Wann kann man einen Parameter beliebig wählen und in welchen Fällen nicht? Wann  gibt es keine Lösung?

Answer 1

es klingt so als meinst Du mit dem Parameter den Faktor \(\lambda, \mu, ...\), der vor die Vektoren geschrieben wird, die den homogenen Lösungsraum aufpassen.

Wenn die Treppenstufenform vorliegt und Du auf der Hauptdiagonalen (von oben links nach unten rechts verlaufend) Nullen hast, dann ist die Matrix nicht invertierbar, der Nullraum nicht leer und (mindestens) ein Parameter kann frei gewählt werden. Die Anzahl der frei wählbaren Parameter ergibt sich aus der Anzahl an Nullen auf der Hauptdiagonalen.

Brauchst Du ein Beispiel?

Gruß

André

Comments

D.H wenn ich eine Treppenstufenform habe einer Matrix

z.b

x1 x2
0    4 |0 
0    0 |0

0*x1+4*x2=0

Dann könnte ich ein Parameter für x1 wählen was ich auch tun muss?

Die letzte Zeile kann ich durchstreichen da die nichts sagt?

Wenn aber die Hauptdiagonalelemente 0 sind dann liegt doch keine Treppenstufenform vor?

Einige Beispiele von mir

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Die letzte Zeile ist doch ein Widerspruch lass ich die Weg und arbeite ich mit dem oberen weiter und wähle hier dann die zwei Parameter für x2 und x3?

2x2=a

x1 x2 x3
1    4  2 |0 
0    2  1 |4
0    0  0 |6

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x1 x2
1    4 |0 
0    0 |0

Hier bräuchte ich kein Parameter? da x1+4x2=0

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x1 x2
1    4 |0 
0    0 |4

Hier hätte ich ein Widerspruch und es gäbe keine Lösung?

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Beispiele wären nicht schlecht

Answer 2

Am besten arbeitst Du mit der Anschauung.

R^3 Du betrachtest Ebenen

Im R^3 drei Gleichungen drei Ebenen:

-Es gibt einen Schnittpunkt: Eindeutige Lösung!

-KEINE gemeinsammen Punkte: Ein Widerspruch ist gleichzusetzen mit der Unlösbarkeit des GLS. Du erhältst eine Aussage 0=6 oä.

-Es gibt eine Schnittgerade: Du "verlierst" Gleichungen (es entstehen 0-Zeilen im Gauss-Schema) während des Umformens. Du hast nur 2 unabhängige Gleichungen aber 3 Unbekannte. 2 der Unbekannte können in Abhängigkeit zur dritten beschrieben werden.  Also sowas wie x= 2+ z und y = -z. Daraus kann man eine Parametergleichung einer Geraden im R^3 bauen. Geraden im R^3 haben keine eindeutige Gleichung je nach  dem welche der Unbekannten man zum Parameter macht, entstehen unterschiedliche Geraden-Gleichungen, die aber alle die gleichen Schnittpunkte beschreiben.

Am besten in GeoGebra anschauen: