Beweisen Sie den folgenden Satz: Reihe ∑a_(k) konvergiert genau dann, wenn die Reihe ∑2^k a_(2^k) konvergiert.

Question

Beweisen Sie den folgenden Satz:

Sei (ak)k>1 eine monoton fallende Folge nichtnegativer reeller Zahlen.

Die Reihe ∑a_k konvergiert genau dann, wenn die Reihe ∑2^ka₍₂^k₎ konvergiert.

Die Summen gehen von k=1 bis ins unendliche

Wäre nett, wenn einer wüsste wie das geht

Comments

Sei (an)n∈N eine monoton fallende Folge mit an > 0 für alle n ∈ N. Beweisen Sie die folgende Äquivalenz:

∑(von n=1 bis ∞) an  konvergiert ⇔ ∑(von n=1 bis ∞) 2na2n   konvergiert

Ich weiß nicht wie ich das am besten mache.

 ps: habe nochmal einen Screenshot von der Aufgabe angehängt:

 

  

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EDIT: Duplikat wurde hierhin umgeleitet.

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Ergänzung: Im Index von a steht rechts 2^n

Titel: Konvergenz zweier Aussagen zeigen

Stichworte: äquivalenz,aussagen,konvergenz,beweis,folge

Aufgabe:

Es sei (a_n)_n∈ℕ eine monoton fallende Folge nichtnegativer reeller Zahlen. Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(I) \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n} \)

(II) \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{2^n*a_+)} \)

+ = 2ⁿ

Problem/Ansatz:

Ich sitze schon etwas länger daran, aber ich bekomme nichts gescheites hin. Könnte mir da jemand aushelfen? Erklärung wäre gut, aber nicht Pflicht.

Ich danke schon mal im voraus.

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Vielen danke hat mir sehr weitergeholfen :)

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Freut mich und bitte.

Answer 1

Meintest Du das

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Cauchysches_Verdichtungskriterium

Answer 2

das ist das Verdichtungskriterium von cauchy, mein vorgänger hat schon den richtigen link gechickt.