+1 Daumen
1,8k Aufrufe

Hey:)


Bräuchte eure Hilfe zu der Aufgabe, weil ich komm irgendwie nicht klar. Weil da steht zum beispiel nicht, dass ich das Taylorpolynom 4 entwickeln soll. Und ich weiß auch nicht wie ich die Funktionen anders darstellen soll.

Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen:)

Bild Mathematik

Avatar von

2 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort



(ii)  Lt. geometrischer Reihe gilt für 1<x<1-1<x<1h(x) : =11x=k=0xk.h(x):=\frac1{1-x}=\sum_{k=0}^\infty x^k.Ableiten lieferth(x)=1(1x)2=k=1kxk1.h^\prime(x)=\frac1{(1-x)^2}=\sum_{k=1}^\infty k\cdot x^{k-1}.Multiplikation mit xx liefert die gesuchte Reiheg(x)=xh(x)=x(1x)2=xk=1kxk1=k=0kxk.g(x)=x\cdot h^\prime(x)=\frac x{(1-x)^2}=x\cdot\sum_{k=1}^\infty k\cdot x^{k-1}=\sum_{k=0}^\infty k\cdot x^k.MfG

Avatar von

Hast du noch für die f eine Idee?

Integriere die geometrische Reihe summandenweise:ln(2+x2)ln(2)=0x2dt2+t=120x2dt1+t2=120x2k=0(1)k(t2)k.\ln(2+x^2)-\ln(2)=\int_0^{x^2}\frac{\mathrm dt}{2+t}=\frac12\int_0^{x^2}\frac{\mathrm dt}{1+\frac t2}=\frac12\int_0^{x^2}\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\left(\frac t2\right)^k.

Woher nimmst du das -ln(2)? :)

0 Daumen

0x2dtt+2=ln(t+2)0x2=ln(x2+2)ln(2) \int_0^{x^2} \frac{dt}{t+2} = \ln(t+2) \bigg|_0^{x^2} = \ln(x^2 +2) -\ln(2)

Avatar von 39 k

Wie kommst du drauf, dass die Integrationsgrenzen x2 und 0 sind?

Ja weil dann die gesuchte Funktion bis auf eine Konstante heraus kommt.

Sorry, verstehe warum du diese Integrationsgrenzen genommen hast. Allerdings verstehe ich das Integral 1/2+t nicht. Weil aufgeleitet wäre es ja ln(t+2).

Oder substituierst du t=x2?

Ich versteh Dich auch nicht. Du schreibst doch selber, das ln(t+2) \ln(t+2) eine Stammfunktion von 1t+2 \frac{1}{t+2} ist. Und ein bestimmtes Integral rechnet man aus, indem man die Differenz der Stammfunktion an der oberen und unteren Integrationsgrenze berechnet. Und das steht da.

Aber es ist eben ln(x2 +2) und deshalb war meine Grage, ob x2=t substituiert wurde

Du musst die Integrationsgrenzen einsetzen, also 0 0 und x2 x^2 . Da ist nichts substituiert worden.

Und wie komms man auf dass (-1)k und das (t/2)k?

Das ist die geometrische Reihe.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage