2ab - 1 = (2a-1) (2a(b-1)+2a(b-2)+...+2a+1

Question

Beweisen Sie, dass n eine Primzahl ist, wenn 2ⁿ - 1 eine Primzahl ist. Zeigen Sie hierzu zunächst, dass

2^ab - 1 = (2^a-1) (2^a(b-1)+2^a(b-2)+...+2^a+1.

Wie berechne ich diese Aufgabe?

Vielen Dank

Answer 1

(2^a-1) (2^a(b-1)+2^a(b-2)+...+2^a+1)

=2^a*(2^a(b-1)+2^a(b-2)+...+2^a+1)   -   (2^a(b-1)+2^a(b-2)+...+2^a+1)

=2^a*(2^ab-a+2^ab-2a+...+2^a+1)   -   (2^ab-a+2^ab-2a...+2^a+1)



=2^ab+2^ab-a+2^ab-2a+...+2^a   -   (2^ab-a+2^ab-2a+...+2^a+1)

=2^ab - 1

Durch die Gleichung

2^ab - 1 = (2^a-1) (2^a(b-1)+2^a(b-2)+...+2^a+1)    #

wird ja für jede Zahl 2ⁿ - 1 , für die


n=a*b ist , eine Zerlegung in zwei Faktoren angegeben.

2ⁿ - 1 eine Primzahl ist, ist einer der beiden Faktoren eine 1,

also 2^a-1 = 1 , und damit a=1 oder

2^a(b-1)+2^a(b-2)+...+2^a+1 = 1 also b=1

und damit lässt sich n nur so in zwei Faktoren zerlegen, dass einer

davon eine 1 ist ==>  n ist Primzahl.