Norm definiert Metrik und umgekehrt

Question

Auf ℝ^n definiert jede Norm in natürlicher Weise eine Metrik, und jede

Metrik (die von irgendeiner Norm erzeugt wurde) in natürlicher Weise eine Norm. Wie genau?

Präzisiere die in der Vorlesung genannten Definitionen und zeige, dass die aus der Norm gewonnene

Metrik die ursprüngliche Norm definiert, und umgekehrt.

Wir befinden uns gerade in dem Thema Euklidische und Unitäre Vektorräume 

Answer 1

Wenn du auf Rⁿ eine Norm hast, dann gibt es ja für jedes x aus Rⁿ sowas wie ||x||.Wenn du daraus eine Metrik machen willst definierst du für ,x y aus Rⁿ :d(x,y) = || x-y|| und zeigst, dass aus der Gültigkeit der Normaxiome dieder Metrikaiome folgt.Umgekehrt kannst du zu jeder Metrik d eine Norm definieren durch||x|| = d( x,0)  wobei 0 der Nullvektor ist.

Comments

Also zu der ersten Richtung muss ich nur zeigen, dass aus der Gültigkeit der Normaxiome die Metrikaxiome folgen. aber was zeige ich, denn für das ||x|| =√(<x,x>) = d(x,0) .