Diskrete Metrik und Norm?

Question

Aufgabe: Zeige, dass

d(x,y) = 1, falls x≠y

          = 0, falls x=y,

für x,y∈ℝⁿ eine Metrik definiert wird, die nicht von einer Norm induziert wird.

Wie kann man zeigen, dass diese Metrik nicht durch eine Norm induziert wird?

Comments

Schau mal, was hier gemacht wurde https://www.mathelounge.de/333875/beweise-dass-eine-metrik-nicht-durch-eine-norm-induziert-wird und bei den andern "ähnlichen" Fragen. Vielleicht kannst du das ja brauchen / übertragen auf deine Frage (?)

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Da habe ich schon geschaut. Hilft mir aber nicht wirklich.

Answer 1

wenn die Metrik durch eine Norm induziert wäre, dann gelte

d(x,y)= Norm (x-y)

Du musst jetzt nachrechnen, dass Norm hier nicht die notwendigen Normbedingungen erfüllen kann.

Allgemein gilt für eine Norm

Norm(a*x)=Betrag(a)*Norm(x)

Es ist Norm(x)=d(x,0). Sei nun x ungleich 0,

Dann ist Norm(2*x)=d(2x,0)=1 ≠  2*d(x,0)=2

Also ist die Metrik nicht durch eine Norm induzierbar.