Beschränkt ist D, wenn es eine obere Schranke für die Beträge der Elemente von D gibt.
Der Betrag von (x,y) ist √ ( x2 +y2 ) und die Bedingung x2 +y2 ≤ 1 hat zur Folge,
dass die Beträge alle kleiner oder gleich 1 sind. 1 ist also eine obere Schranke für die
Beträge, also ist D beschränkt.
Offen ist D nicht; denn ( 0;1 ) ∈ D, aber in jeder ε-Umgebung von (0;1) liegt z.B. der
Punkt ( 0 ; 1+ε/2 ) , der nicht in D liegt.
Abgeschlossen ist D auch nicht, da das Komplement C = ℝ2 \ D nicht offen ist; denn in
jeder (hinreichend kleinen) ε-Umgebung von ( 0,5 ; 0 ) ∈ C liegt z.B. der Punkt ( 0,5 - ε/2 ; 0 ) ∉ C .
f(x,y) ist möglichst groß, wenn 3y möglichst groß und x2 möglichst klein ist. Letzteres
ist der Fall für x=0 , da bleibt f(0;y) = 3y und das ist möglichst groß, wenn y möglichst groß ist,
also hier für y=1. Am Punkt (0;1) nimmt f sein Maximum auf D an. Dieses hat den Wert 3.
Minimum: Dazu muss 3y möglichst klein und x2 möglichst groß sein. Also für y=0.
f(x,0) = -x2 wird kleiner, je größer x ist. Da x < 1/2 gilt werden nur Werte, die größer als - 1/4 sind ,
erreicht. Angenommen m sei das Minimum (Das wäre jedenfalls negativ, da etwa f(0,1) =-0,01) ,
dann gäbe es ein x<1/2 mit -x2 = m also x = √(-m) und √(-m) < 1/2 nach Def. von D.
Dann wäre auch t = ( √(-m) + 1/2) / 2 noch kleiner als 1/2 , also ( t,0) ∈ D.
Aber f(t,0) = - ( ( √(-m) + 1/2) / 2 )2 = - ( -m + √(-m) + 1/4 ) / 4
= ( m - √(-m) - 1/4 ) / 4 < m im Widerspruch zur Minimaleigenschaft von m.
Also wird kein Minimum angenommen. -1/4 ist das Infimum der Funktionswerte.
