Abgeschlossen, offen und beschränkt? (a) M1 := {(x, y) ∈ R^2: |y| ≤ min {1,1/x^2}, 0 < x < 5}

Question

Untersuchen Sie die folgenden Teilmengen des R^2 auf Beschränktheit, Offenheit und Abgeschlossenheit.
(a) M1 := {(x, y) ∈ R^2: |y| ≤ min {1,1/x^2}, 0 < x < 5}

e= element von...

||M1||=(x^2+y^2)^{1/2}

Fall 1: x>1

|y| <= 1/x^2<1 <=> x^2>1

Fall 2: x<=1

|y|=1

||M1||=(x^2+y^2)^{1/2}=(x^2+|y|^2)^{1/2}<=(5^2+|y|^2)^{1/2}                  |y|^2<=1

            <=26^{1/2}     => M1 beschr.

Sei z:=(x,y)

Sei z0 e |R^2, delta>0

Udelta(z0):={z e |R^2: ||z-z0||<delta}

||z-z0||<=||z||-||z0||=(x^2+y^2)^{1/2}-(x0^2+y0^2)^{1/2}<=26^{1/2}-(x0^2+y0^2)^{1/2}                          x0^2>=0, y0^2>0

<26^{1/2}=delta

muss ich nun nur noch zeigen, dass Udelta Teilmenge von M1 ist?

Mfg

Comments

Hast du M1 skizziert?

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ja hier die zeichnung mehr oder weniger genau

edit:

hier nochmal genauer

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Cy%7C%3C%3Dminimum%7B1,1%2Fx%5E2%7D,+for+0%3Cx%3C5

Answer 1

Dieses Gebiet ist weder offen noch abgschlossen.

Grund: Es gehört ein Teil der Randpunkte zum Gebiet und der Rest nicht.

Das Gebiet ist aber beschränkt. Du kannst problemlos einen Mittelpunkt und einen Radius für einen Kreis angeben, der das ganze Gebiet enthält.

Ich würde das als Vorüberlegungen zu allfälligen Berechnungen anfügen.

Comments

danke für die antwort

das es beschränkt ist habe ich ja bereits bewiesen, hatte auch schon die vermutung dass nicht offen bzw. abgeschlossen ist, wie beweise ich das aber nun?

man zeigt ja dann dass die umgebung von delta nicht teilmenge von m1 ist( für nicht offen)

||z-z0||<=||z||-||z0||=(x^2+y^2)^{1/2}-(x^02+y^02)^{1/2}<=26^{1/2}-(x0^2+y0^2)^{1/2}                                    (x0^2>=0, y0^2>0)
<26^{1/2}=delta

26^{1/2} nicht e von M1 oder wie genau?

oder reicht es zu begründen das es nicht offen ist schon an der definition von x und y: 0<x<5, da x ja nicht >= bzw. <= etwas ist und somit 0 bzw. 5 nicht teil davon sind (damit der "rand" nicht enthalten) während hingegen (1/25<=y<=1)  1/25 und 1 teil y(wobei dort der "rand" enthalten ist) sind