DGL y' = 1/(1-x) y + x - 1

Question

Wo liegt mein Fehler?

$$ y'\quad =\quad \frac { 1 }{ 1-x } \quad y\quad +\quad x\quad -\quad 1 $$

$$f(x) =  -\frac { 1 }{ 1-x },\quad  g(x) =  x\quad -\quad 1$$

______

$$ F(x)\quad =\quad \int { f(x) } \quad =\quad -\int { \frac { 1 }{ 1-x } \quad =\quad -ln|1-x| }  $$

$$ c(x)\quad =\quad \int { g(x){ e }^{ F(x) }dx } \quad =\quad \int { (x-1){ e }^{ -ln|1-x| }dx } \quad $$

$$ c(x)\quad =\quad \int { \frac { (x-1) }{ (1-x) } dx\quad  } =\quad \int { \frac { (x-1) }{ -(x-1) } dx } \quad =\quad -x\quad +\quad { c }_{ 1 }\quad  $$

______

$$ { y }_{ h }\quad =\quad { C }{ e }^{ -F(x) }\quad =\quad C{ e }^{ --ln|1-x| }\quad =\quad C(1-x)\quad  $$

$$ { y }_{ s }=\quad c(x){ e }^{ -F(x) }\quad =\quad (-x\quad +\quad { c }_{ 1 })\quad { e }^{ --ln|1-x| }\quad =\quad (-x\quad +\quad { c }_{ 1 })(1-x) $$

$$ { y }_{ A }=\quad { y }_{ h }\quad +\quad { y }_{ s } = (1-x)({ C }_{ 2 }-x) $$

______

AWP y(2) = 0

y_A(2) = -(C_2-2) = -C_2 + 2 => C_2 = 2

$$ { y }_{ AWP }= (1-x)(2-x) $$

$$ { y' }_{ AWP} = 2x-3$$ 

__

Test:

$$ y'\quad =\quad \frac { 1 }{ 1-x } \quad y\quad +\quad x\quad -\quad 1 $$

$$ 2x-3\quad \neq\quad \frac { 1 }{ 1-x } \quad (1-x)(2-x)\quad +\quad x\quad -\quad 1 $$

$$ 2x-3\quad \neq \quad (2-x)\quad +\quad x\quad -\quad 1\quad =\quad 1$$

MFG

Answer 1

Du hast einen Vorzeichenfehler und dadurch keinen Kehrwert gemacht.

Hier in kleinstschrittiger Vorgehensweise:

$$ y' = \frac y{(1-x)} + x - 1 $$
$$ y' -\frac y{(1-x)} = x - 1 $$
homogen:

$$ y' -\frac y{(1-x)} = 0$$
$$ y' =\frac y{(1-x)}$$
$$\frac 1y \frac {dy}{dx} =\frac 1{(1-x)}$$
$$\int \quad \frac 1y \frac {dy}{dx} dx=\int \quad \frac 1{(1-x)} \quad dx$$
$$\int \quad \frac 1y \quad dy=\int \quad \frac 1{(1-x)} \quad dx$$
$$\ln|y|=C-\ln \vert 1-x \vert$$
$$e^{\ln|y|}=e^{C-\ln \vert 1-x \vert}$$

$$e^{\ln|y|}=e^{C}\cdot e^{-\ln \vert 1-x \vert}$$

$$e^{\ln|y|}=D\cdot \frac 1{ e^{\ln \vert 1-x \vert}}$$

$$y_H=D \cdot \frac1{ 1-x }$$

Comments

geht die aufgabe nicht mit dem von mir gewählten lösungs ansatz? ich verstehe deinen ansatz, doch sehe ich in meiner rechnung keinen fehler, sollte es nicht auch so zu lösen sein?

mit deinem y_h komme ich zum gewünschten ergebnis
das einzige problem ist ja f(x) = - 1 / (1-x) mit f(x) = 1 / (1-x)  würde ich ja auf das selbe y_h kommen

Answer 2

Der Fehler liegt bei $$ F(x) = -\ln\left(  1-x \right)  $$ denn $$ F'(x) = \frac{1}{1-x}  $$ es müsste aber \( -\frac{1}{1-x} \) rauskommen. Mit $$ F(x) =\ln\left(  1-x \right)  $$ klappt auch Deine Methode.