Fourierreihe berechnen - Endgültige Formel aufstellen. EDIT: f(x)=2pix im 2 Pi Periodenintervall 0<=x<=2pi

Question

Hi,

bei der Berechnung einer komplexen Fourierreihe habe ich als Ergebnis einmal $$c_{0} = 1/\pi$$ erhalten und $$ c_{n} = \frac { 5 }{ { n }^{ 3 } }$$

Ich habe jetzt zwei Fragen:

1.) Muss man immer den Fall n = 0 betrachten?

2.) Wie schreibt man nun die Formel auf?

$$f(x)=\sum _{ n=-\infty  }^{ \infty  }{ { c }_{ n }{ e }^{ inx } } $$

$$f(x)={ c }_{ 0 }+\sum _{ n=-\infty  }^{ \infty  }{ { c }_{ n }{ e }^{ inx } } =\frac { 1 }{ \pi  } +5\sum _{ n=-\infty  }^{ \infty  }{ { \frac { 1 }{ { n }^{ 3 } } e }^{ inx } } $$

Ist das so richtig?

Comments

Beim Summenzeichen stimmt etwas nicht. Wenn du den Index von -unendlich nach +unendlich laufen lässt, kommt da irgendwann auch n=0 vor. Zumindest das musst du ausschliessen. Unter dem Summenzeichen könnte z.B. n ∈ℤ \ {0} stehen. Dann braucht es unendlich oben und unten nicht. Vgl. Link unten.

Wenn deine c_(n) stimmen, hast du unendlich viele Summanden ≠0 und du musst auch noch die Konvergenz überprüfen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe#Fourierreihe_von_2.CF.80-periodischen_Funktionen 

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Ah danke dir. Also sobald ich ein c_0 habe muss ich dieses dann in der Summe mit n ∈ℤ \ {0}  ausschließen?

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Hallo Fragensteller001,

um welche Ausgangsfunktion geht es?

Answer 1

Hi gorgar. Suche ich mal eben Raus, die Werte bezogen sich aber auf ein erdachtes beispiel, da ich wissen wollte, wie man dann verfährt.

Aber f(x)=2pix Im 2 Pi Periodenintervall 0<=x<=2pi

Ich kam dann auf:

c_0 = 2pi^2

c_n = (i2pi)/n

Angeben würde ich das dann als:

$$ { 2\pi  }^{ 2 }+i2\pi \sum _{ n=-\infty \quad /{ \left\{ 0 \right\}  } }^{ \infty  }{ \frac { { e }^{ inx } }{ n }  }  $$

Also -inf bis inf, ohne 0

Ich hoffe, dass du mir weiterhelfen kannst

Comments

"die Werte bezogen sich aber auf ein erdachtes beispiel"

Vielleicht hast Du Dir etwas ausgedacht, was nicht möglich ist?
Darum wäre es gut, wenn wir die Funktion kennen würden, um die es geht.
Dann kann Dir auch bestimmt jemand helfen, der gerade fit in Fourierreihen ist, was ich zurzeit von mir leider nicht behaupten kann.

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Klar, siehe mein Kommentar über deinem. Da hab ich das nochmal mit einem anderen Beispiel durchgerechnet, mit exakt der gleichen Situation. Dort habe ich auch c_n und c_0, zusätzlich habe ich den Hinweis von Lu einbezogen

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Ja, okay, sieht gut aus. Du kannst die Reihe auch als Summe von zwei Reihen angeben. Eine von minus unendlich bis -1 und die zweite von 1 bis unendlich.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+e%5E(i*n*x)%2Fn,+n%3D-5+to+-1+%2B+sum+e%5E(i*n*x)%2Fn,+n%3D1+to+5

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Ah, okay. Danke dir für deine Hilfe!