Monotonie und stationäre Stellen (f'(x)=0)

Question

Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen die Intervalle, in denen die Funktionen streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend sind. Beachten Sie die Definitionsbereiche!

a)f(x)=(x)/(x^2+2)                 b)f(x)=(5x+1)/(x-1)          c)f(x)=(x-3)*wurzel(x+4)

Bestimmen Sie außerdem die stationären Stellen, d.h. die Stellen, an denen f‘(x)=0 ist (falls vorhanden). Ermitteln Sie mit Hilfe der Monotonie, ob dort ein lokales Minimum oder lokales Maximum vorliegt. 

Answer 1

f(x) = x / (x^2 + 2)

f'(x) = (2 - x^2) / (x^2 + 2)^2

Der Nenner ist immer positiv, daher hat man eine stetige Funktion die überall definiert ist.

Monoton steigend f'(x) > 0

2 - x^2 > 0 --> -√2 < x < √2

Monoton Fallend in den anderen Bereichen.

Bei x = -√2 ein Tiefpunkt und bei x = √2 ein Hochpunkt